Метод растянутых координат. (Лекция 9)

1. Введение в асимптотические методы. Лекция 9

Метод растянутых координат

2. 1. Основная идея метода

Метод предполагает, что f ( x; ) имеет тот же вид, что f ( x;0) , но
координата x при этом слабо сдвинута (растянута).
Примеры
Сдвиг
1
f ( x; )
x
1 2
2 3
x x
x
0
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при x
Растяжение
f ( x; ) sin(1 ) x
1
sin x x cos x 2 x 2 sin x
2
0
1
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при x
АР конструируется в виде f ( x; )
x
для f было равномерным.
f 0 ( s) f1 ( s)
s x1 (s)
так, чтобы разложение
Метод не работает если f ( x; ) существенно отличается от f ( x;0)
(например в задачах с пограничным слоем)

3. 2. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
Регулярное разложение:
x cos t x1 (t )
x1 x1 cos3 t 34 cos t 14 cos3t , x1 (0) 0, x1 (0) 0
резонансные члены
x1 83 t sin t 321 cos t cos3t
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при t 1 связаны
с тем, что период осцилляций слабо отличается от 2
x(t ; ) x0 ( s ) x1 ( s ) 2 x2 ( s )
t s t1 ( s ) 2t2 ( s )
2
2
1 d2
d ds d
1 d
d
t d
,
3
2
2
dt dt ds t ( s ) ds dt
t ( s ) ds t ds
1 2 t1 O
2
d2
d
2
t
O
ds
1
ds 2

4. 3. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
0 : x0 x0 0, x0 (0) 1, x0 (0) 0 x0 ( s) cos s
1 : x1 x1 x03 2t1 x0 t1 x0
3
4
2t1 cos s t1 sin s 14 cos 3s
Для равномерной пригодности разложения нужно за счет
выбора t1 удалить из правой части резонансные члены
Удобно выбрать t1 так чтобы t1 (0) 0
t
s 83 s O 2 s
1 x t 0 x s O 2 x s 0 O
0
dx
dx
ds
x(0) s 0
dt t 0 ds t 0 dt t 0
t1 83 s
t 83 t O 2
x (0) x (0) O
O 1 O
2
2
0
1
2
t1 0
t1 83
3
8
2
x0 (0) 1
x1 (0) 0
x0 (0) 0
x1 (0) 0

5. 4. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
Аналогично, для 2
x1 321 cos s cos3s
57
t2 256
s,
Период колебаний
1
x1 1024
23cos s 24cos3s cos5s
57
T 2 1 83 256
2
Обратим внимание, что все tk оказались прямо пропорциональны s .
Поэтому изначально можно было искать решение данной задачи в более
простом виде
x(t; ) x0 ( s) x1 ( s) 2 x2 ( s)
t (t ; )
s 1 t1 t2 2
В такой форме метод растянутых координат называют методом
Линдштедта – Пуанкаре.

6. 5. Задача Лайтхилла: внешнее разложение

x y
dy
(2 x ) y 0,
dx
0 x 1
y y0 ( x ) y1 ( x )
Регулярное разложение:
x
y (1) Ae 1 0
dy0
dy
(2 x )dx
(2 x ) y0 0 0
y0 const x 2e x
dx
y0
x
dy
dy
x 1 (2 x ) y1 y0 0 A2e 2 x x 4 2 x 5 , y1 (1) 0
dx
dx
y0 Ax 2e x
1
Метод вариации произвольной постоянной
1
y1
A2e x x 2 2t 4dt
x
y1 A2e x x 2 e t t 3 2t 4 dt
x
2
A2 x 5
3
x 0
1/ 3
Принятое ФАР непригодно в окрестности нуля, оно разваливается при x

7. 6. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

y ( x; )
y0 ( s) y1 ( s) 2 y2 ( s)
x( s; )
s x1 ( s) 2 x2 ( s)
dy dy ds y0 y1
dx dx ds 1 x1
dy
x y (2 x ) y 0
dx
y0 y1 x1
sy0 (2 s) y0 0
sy1 (2 s) y1 (2 s) y0 x1 y0 y0 x1 y0 y0
x 1 s x1 ( s ) O 2 1 s 1 x1 (1) O 2
Ae 1 y 1 x1 (1)
y(1) x1(1) y (1)
Граничное условие
y0 As 2e s
y0 (1) y1 (1) x1 (1) y (1)
y0 (1) Ae 1 ,
y1 (1) y0 (1) x1 (1)

8. 7. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

sy1 (2 s) y1 (2 s) y0 x1 y0 y0 x1 y0 y0
Метод вариации произвольной постоянной
y0 As 2e s
y1 Fy0
sy1 (2 s) y1 F sy0 (2 s) y0 F sy0
0
d y1 1
2
s
3
2
(2
s
)
x
x
Ae
2
s
s
1
1
ds y0 s
s
Выберем x1 так, чтобы устранить главную особенность в правой части
x
A
A
d y1
2 3
4
s
4
3
x1 1 3 x1 2
A
s
2
s
e
2
s
s
s s
3s
ds y0
3
1
2
1
t
4
3
y1 A e s 3 2 e 2t t dt
s
3s 3s
2 s 2

9. 8. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

y0 As 2e s
y1
1
2
1
y1 A e s 3 2 e t 2t 4 t 3 dt
s
3s 3s
2 s 2
1
2
1
A e s 3 2 2t 4 t 3 dt
s
3s 3s
2 s 2
5 2 4
As
6
По-прежнему для малых s равномерной пригодности разложения нет,
оно разваливается на этот раз при s 1/ 2
Выигрыш состоит в том, что интервал s 1/ 2 лежит вне интересующей нас
области 0<x<1 решения!
1/ 3
A
A
1/ 2
0 x ( s0 ; ) s0
s
0
3s0 2
3
Поэтому уже самое грубое приближение
y Ae s s 2 ,
x s
оказывается равномерно пригодным
A
3s
2
3
y (0) A
A
2/3
O 1/ 3

10. 9. Волны на мелкой воде. Постановка

h
h
u
Сохранение массы
u h
0
t
x
x
(1)
u
u h
u
0
Сохранение импульса
t
x x
1 2 2 Чтобы волна двигалась
t
0
:
u
sin
x
,
h
1
sin
x
sin x в одном направлении
(2)
4
Регулярное разложение h 1 h1 2 h2 , u u1 2u2
h1 u1
h1 u1 h1 u1
0
h1 sin( x t )
0 h1 u1 f ( x t )
t x
t
x
u1 h1
0 h1 u1 h1 u1 0 h1 u1 f ( x t ) 0 u1 sin( x t )
t x
t
x
h 1 sin( x t ) 2 43 t sin 2( x t ) 14 sin 2 ( x t ) He равномерно пригодное
1
2 3
t
разложение.
u 0 sin( x t ) 4 t sin 2( x t )
Из-за того, что характеристики (1) слабо отличаются от x t const

11. 10. Волны на мелкой воде. Постановка

Причина неудачи состоит в том, что линеаризованное уравнение имеет в
качестве характеристик прямые x t const , в то время как характеристики
нелинейного уравнения слабо отличаются от них. Решение типа бегущей
волны в своей основе правильно: наше разложение разваливается, потому,
что положение этой волны на больших временах дается им неверно.
Поэтому рассматриваемая задача может в принципе решаться методом
растянутых координат, но такими координатами должны выступать
характеристики.
Преобразуем систему исходных уравнений к характеристической форме
Q
Q
c
0
t
x
для некоторой величины Q, распространяющейся со скоростью c

12. 11. Волны на мелкой воде. Характеристики

Преобразование исходных уравнений к характеристической форме
h
h
u
u
h
0
ut ht u h ux 1 u hx 0
ut ux h x
u
0
t
x x
Пара характеристических уравнений
1 u h
h 1/ 2 u h1/ 2 u 2h1/ 2 0
1 u
x
t
Введение новых независимых переменных (характеристик) ,
x x ,
t x
t 0: x
(выбор параметризации)
t t ,
t x
x
t
u h1/ 2
u 2h1/ 2 0 u 2h1/ 2 f ( ) 2 2 sin
1/ 2
Из НУ
1/ 2
x
1/ 2 t
u
2
h
f
(
)
2
u
2
h
0
u h

13. 12. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик

решение
задачи
u , sin
h , 1 sin 14 2 sin 2
x x ,
t t ,
?
x
t
2
1 32 sin
x
,
;
x
,
x
,
x2 ,
0
1
x
t
t , ; t0 , t1 , 2t2 ,
1 12 sin
x0
t
1
0 x0 t0 f
x
0
2
0
:
1
x0 t0
t
0
2
x0 t0 f
t 0: x
x0 , t0 0

14. 13. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик

:
1
t
x1 t1 3
x1 0, t1 0
2 sin 0 34 sin
x1 t1 34 sin f t1 34 sin
t
x1 t1 1
1
sin 0 sin
x1 0, t1 0
2
4
x1 t1 14 cos f t1 14 cos cos
x1 83 sin 81 cos cos
t1 83 sin 81 cos cos
2 :
1
x2 128
21cos 2 22 11sin cos sin cos 12sin cos
1
t2 128
14 15cos 2 13sin cos sin cos 12sin cos

15. 14. Волны на мелкой воде. Время опрокидывания

Неединственность начинается тогда, когда якобиан преобразования
t, x , обращается в нуль
0
x t x t
t t
2h1/ 2
t 1
1
2 18 sin 83 sin 2 128
... 0
h1/ 2 0
t
0
12 83 ( ) cos 14 sin 2 15
( )sin 2 O(1)
64
4
2
1 34 sin O 2
t
1 O 2
3 cos
3 cos
Волна опрокидывается при
t 23 1 O( ) в точках
x 23 1 (2n 1) O( )

16. 15. Упражнение к лекции 9

1.
Найти третий член асимптотического разложения в задаче об
осцилляторе Дюффинга.
2.
Функция y(x) удовлетворяет уравнению
dy
x2 y
y 0, y (1) e 0
dx
Найти y(0)
3.
Рассмотреть задачу
x y y y 0,
y(1) 1
А) Построить прямое разложение . Найти область, в которой оно
разваливается.
Б) Использовать метод растянутых координат для нахождения
равномерно пригодного разложения.
В) Построить точное решение, поменяв местами зависимую и
независимую переменную, и сравнить его с разложением.