Лучевая теория и другие экспоненциальные методы. (Лекция 13)

1. Введение в асимптотические методы. Лекция 12

Лучевая теория и другие
«экспоненциальные» методы

2. 1. Мотивация

d2y
y 0
2
dx
2
y e ix /
Имеем дело с быстро осциллирующим решением
Здесь легко найти аналитическое решение, но как быть в более общем случае?
d2y
V ( x) y 0
2
dx
2
V ( x ) положительная, изменяющаяся в шкале порядка O 1 функция
Решение представляет собой медленно (шкала O 1 ) модулированные
быстрые (шкала O ) осцилляции. Хотя задачи такого рода можно в
принципе решать методом многих масштабов, в силу их важности развиты
специальные асимтотические техники, называемые
Для ОДУ: ВКБ-метод ( в честь Вентцель-Крамерс-Бриллюэн)
Для уравнений в частных производных: лучевая теория

3. 2. ВКБ-теория: главный член

d2y
V ( x) y 0
2
dx
V ( x) 0
2
Идея классического ВКБ-метода состоит в том, что решение представляет
собой быстрые осцилляции, чья амплитуда A и фаза u медленно
изменяются.
y A( x )eiu ( x ) /
y A i 1u eiu ( x ) /
y A i 1 Au 2 A u 2 u eiu ( x ) /
2
u A i Au 2 A u 2 A V ( x ) A 0
A A0 ( x) A1 ( x)
2
u V
1 A0u 2 A0 u 0
2
0
y
V ( x )
1/ 4
i
exp
x
V ( s)
1/ 2
A02u const
ds
Полученное асимптотическое представление несправедливо если хотя бы в
одной точке V=0. При наличии таких точек (точки поворота) вблизи них
нужно дополнительно строить погранслойное разложение

4. 3. Многомерный аналог

2 V ( x) 0
2rT r T 0
2
2
(A) rTT r f 0
(B)
r 2 Const
(T , ) 0 (T)+ 2 1 (T)
r (T , ) r0 (T)+ 2 r1 (T)
(B0)
0 f 1/ 2
(A0)
r0 k f 1/ 4
2
r0TT
5
f
f
1/ 2
1
f
2
3
2 0 r0
8f
32 f
r0 1
k 1/ 4 5 f 2
f
r1
f
3
2
2 0
2
32
f
8
f
(B1)
(A1)

5. 11.4. Точки поворота

x f ( t ) x 0
t 0 : x(t , )
t 1
t 0 : x(t , )
f (0) 0,
f ( t )
1/ 4
f ( t )
f 0
a cos b sin
1/ 4
Ae Be
t
f ( t ) dt
1/ 2
0
t
f ( t ) dt
1/ 2
0
Для того, чтобы связать a,b с A,B применяется сращивание АР.
t 1
x tf (0) x 0
ПС уравнение
1/ 3
t f (0)
x x 0 Ур-ие Эйри
Перенормировка:
x Ai( ) Bi( ) Ai( ), Bi( ) -функции Эйри
Решение:
1
1
2 3/ 2
2 3/ 2
0 : x 1/ 4
exp
exp
2
3
3
Асимптотика
при
1
2
1
2
1
3/ 2
3/ 2
0: x
sin
(
)
cos
(
)
1/ 4
3
4
3
4
Внутреннее разложение:

6. 11.4. Точки поворота

Сращивание
2
, t 0 :
A,
B
1/ 6
1/ 6
f (0)
f (0)
, t 0 :
f (0)
1/ 6
a,
2
b
1/ 6
f (0)
t
1/ 4
1/ 2
2 Af
sin f dt
4
0
Точки поворота более высокого порядка
Ключевые моменты
ПС уравнение
Решение:
a b
B
2
Уравнения
связи
f ( ) 0 B 0
Естественное ГУ
f
2
a b
A
2 2
t 0
f
k 2t n
t 0
x k 2t n x 0
x t1/ 2 J (2k t1/ 2 ) t1/ 2 J (2k t1/ 2 )

7. 11.5. Пример: Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

xx E x 2 0
Найти большие
собственные значения
ВКБ-задача!
x E:
x E:
x E:
( ) 0
1
x z E
2
1
zz 1 E z 0
x Ey
E 2 yy 1 y 2 0
2 точки поворота
E
x E первого порядка
E x a cos b sin ,
2 1/ 4
x E
2
x2 E
1/ 4
1/ 4
A e B e
x
E x
,
0
A e B e ,
x
2 1/ 2
dx
x2 E
dx
x2 E
dx
1/ 2
E
x
E
1/ 2

8. 11.5. Пример: Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

Сращивание при x E
x
E x
2 1/ 2
E
x E:
E x2
E x
1/ 4
a cos
a
2 1/ 4
0
dx
E x
2 1/ 2
dx
E
0 E / 4
0 b sin 0
cos b sin
a a cos 0 b sin 0
b a sin 0 b cos 0
a b
Уравнение
B 0 a cos 0 sin 0 b sin 0 cos 0
связи
2
Аналогичное сращивание
a cos 0 sin 0 b sin 0 cos 0
при
дает
x E
a 0, sin 0 cos 0 0 0 / 4 k
k
0
4 2
b 0, sin 0 cos 0 0 0 / 4 k
E 2k 1

9. 11.5. Упражнение к л. 11

1.
Используя преобразование (11.3) получить ВКБ – аппроксимацию решения уравнения
x(4) f ( t ) x 0