Ортогональные проекции плоскости

1. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости

• Способы задания плоскости
• Плоскости общего и частного
положений
• Особые линии плоскости
Лектор Стриганова Л.Ю.

2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ

ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ
ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ
ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕСЕКАЮЩИХ
ВНЕ ЕЕ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ
A
a

3.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ
1. Аналитический способ
Аx + By + Cz + D = 0
2. Графические способы

4. Графические способы задания плоскости

Существуют 6 способов задания плоскости на эпюре, каждый из которых
последовательно переходит один в другой
А2
aп2
В2
C2
Z
ax
X
А1
aп1
В1
C1
Y

5. Графические способы задания плоскости

2. Прямая и точка вне этой
прямой
1.Три точки не принадлежащие
одной прямой
Z
Z
А2
В2
b2
C2
X
C2
X
А1
b1
C1
В1
C1
Y
Y

6.

3. Параллельные прямые
4. Пересекающиеся прямые
Z
a2
а2
b2
b2
X
Z
К2
X
b1
а1
a1
К1
Y
b1
Y

7.

5. Плоская фигура
Z
А2
В2
C2
X
А1
C1
В1
Y

8.

6. Следы плоскости – линии пересечения данной
плоскости с плоскостями проекций
Z
a П2
az
a-плоскость;
a
aп1 - горизонтальный след
плоскости a;
aп2 - фронтальный след
плоскости a;
a П3
ax
X
a п1
aп3 - профильный след
плоскости a;
ay
ax, ay, az - точки схода следов.
Y

9.

Z
a П2
Z
a
az
az
a П3
a П2
a П3
Zα
ax
X
X
a п1
Y
xα
ax
ay
ay
Y
yα
a п1
ay
Y

10. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

1. Относительно плоскостей проекций плоскости
разделяют:
• плоскости частного положения
• плоскости общего положения
2. Плоскости частного положения разделяют:
• плоскости параллельные плоскостям проекций –
плоскости уровня
• плоскости
перпендикулярные
плоскостям
проекций – плоскости проецирующие

11. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ 1. Плоскости уровня – это плоскости параллельные плоскостям проекций

Горизонтальная плоскость уровня aII П1
a П2
a
Z
В2 С az
2
А2
aП2
az В3 С3 А3
a П3
А2
В1
В1
А1
С1
Y
В2 С2
a П3
Y
X
X
Z
А1
С1 Y
ΔАВС ; IABCI=IA1B1C1I

12.

Фронтальная плоскость уровня b I| П2
Z
b
В2
Z
В3
bП 3
А2
С2
bП 3
А3≡С3
Y
X
bп1
by
X
by
А1
Y
bп1
ΔАВС ;
В1
С1
by
Y
IABCI=IA2B2C2I

13.

Профильная плоскость уровня П3
Z
g
g П2
g П2
X gx
X
g п1
Y
Z
gx
Y
g п1
Y

14. Особенности чертежа плоскостей уровня

• Фигуры принадлежащие плоскостям уровня
проецируются в натуральную величину на
параллельную плоскость проекций
• На другие плоскости проекций фигуры
принадлежащие плоскостям уровня
проецируются в прямую линию

15.

2. Проецирующие плоскости - это плоскости
перпендикулярные плоскостям проекций
Горизонтально проецирующая плоскость
┴П1
ΔАВС
Z
a П2
a П2
a
В2
Z
a П3
А2
X
С2
a П3
ax
ax
ay
X
a п1
ay
А1
y
В1
Y
a п1
С1
ay
Y
Y

16.

Фронтально проецирующая плоскость ┴ П2
ΔАВС
Z
П2
Z
z
П2
z
С2
П3
В2
П3
x
А2
X
f
Y
x
X
П1
А1
С1
В1
Y
п1
Y

17.

Профильно проецирующая плоскость ┴ П3
ΔАВС
Z
П2
Z
П2
z
В3
ψ А3
П3
П3
φ
X
X
п1
z
Y
y
y
п1
Y
y
Y

18.

Особенности чертежа проецирующих
плоскостей
• Фигуры принадлежащие проецирующим
плоскостям на перпендикулярную плоскость
проекций проецируются в прямую линию
(вырожденная проекция)
• Угол наклона между вырожденной проекцией
и осями координат равен углу между
заданной плоскостью и плоскостью проекций

19. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

• Плоскость общего положения не параллельна и не
перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Z
a П2
a
az
a П3
ax
X
a п1
ay
Y

20.

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
ПЛОСКОСТИ
1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит
прямой в этой плоскости
2. Прямая принадлежит плоскости если она проходит:
а) через две точки этой плоскости
б) через точку плоскости параллельно какой-либо
прямой этой плоскости

21.

Принадлежит ли точка А плоскости a?
Z
aп2
точка А плоскости a
А2
X
не принадлежит
ax
А1
a П1
Y

22. ОСОБЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

1.
ЛИНИИ
УРОВНЯ
ПЛОСКОСТИ
–
линии
параллельные
плоскостям
проекций
и
принадлежащие данной плоскости;
2.
ЛИНИИ
НАИБОЛЬШЕГО
НАКЛОНА
(ЛНН)
ПЛОСКОСТИ – определяют угол наклона данной
плоскости к одной из плоскостей проекций.
ЛНН перпендикулярны линиям уровня:
горизонтали на плоскости П1;
фронтали на плоскости П2.

23.

ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ
Горизонталь плоскости
Z
az
a
Горизонталь h параллельна
горизонтальной
плоскости
проекций
и
принадлежит плоскости a
a П2
a П3
ax
X
a п1
ay
Y

24.

1. ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ
Горизонталь плоскости
AН(h) горизонталь
плоскости a;
Z
aп2
az
Следы плоскости –
линии уровня плоскости
А2
Н2
h
X
ax
a П1
2
Н1
h
1
А1
ay
Y
п1 –горизонталь плоскости
п2 –фронталь плоскости

25.

Горизонталь плоскости треугольника
В2
AH(h)–
горизонталь
ΔАВС
H2
А2
X
С2
А1
С1
H1
В1

26.

Фронталь плоскости
Z
aп2
az
АF (f)- фронталь
плоскости a
А2
f2
ax
F2
X
F1
А1
f1
a П1
ay
Y

27.

Фронталь плоскости треугольника
В2
СF (f) фронталь
плоскости ΔАВС
F2
А2
С2
X
А1
С1
F1
В1

28.

2. ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ
К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Линия ската
1.
Линия ската
az
Z
a
a П2
aП3
h
2. Линия Ската ┴ αп1;
3. Линия Ската ┴ h1 .
ax
X
Линия
наибольшего
наклона плоскости α к
горизонтальной
плоскости проекций - Линия
ската плоскости α.
a п1
ay
Y

29.

Линия ската
aп2
1. А1D1 ┴ А1H1 II П1.
az
2. А1D1 ┴ αп1
А2
H2
h
X
2
ax
D2
H1
h
А1
a П1
1
D1
ay
Y

30.

Линия ската треугольника
В2
1. В1D1 ┴ А1H1
2. ВD – линия
ската
треугольника
H2
А2
D2
С2
X
А1
D1
С1
С1
H1
В1

31.

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ
Z
a П2
a
az
aП3
ax
X
f
a п1
ay
Y
1.
ЛНН к П2 ┴ αп2
2.
ЛНН к П2 ┴ f II П2

32.

Линия наибольшего наклона плоскости к
фронтальной плоскости проекций
z
aп2
az
Е2
f2
А2
X
ax
F2
Е1
F1
f1
A1
a П1
ay
АЕ – ЛНН к П2
A2Е2 ┴ A2F2 П2
A2Е2 ┴ п2

33.

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА
плоскости ΔАВС к фронтальной плоскости проекций
В2
BE – ЛНН к П2
В2E2 ┴ C2F2 П2
F2
А2
Е2
С2
X
А1
F1
Е1
В1
С1

34. НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ

a
• Нормаль плоскости
n – линия
перпендикулярная
заданной плоскости
Z
a П2
az
aП3
n
ax
X
a п1
ay
Y

35.

aп2
az
n2
А2
ax
А1
X
n1
ay
aП1
Y
• Проекции
нормали
перпендикулярны проекциям линий уровня
плоскости a:
горизонтали на П1;
фронтали на П2.
• Проекции нормали перпендикулярны следам
плоскости a:
n1 ┴ aп1;
n2 ┴ aп2.

36. НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА

А2
НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Через точку D
провести
В2
D2 1.Проведем перпендикуляр
горизонталь
F2
к
плоскости
AH. На горизонтальной
плоскости треугольника
проекции норАВС
перпендикулярна
H2 маль
горизонталиА(80,20,30)
D1N1┴ А1Н1
С2 Точку N выберем произВ(40,60,60)
вольно
D1
2. ПроведемС(0,40,0)
фронталь CF
N2
X
А1
С1
F1
N1
В1
H1
D(10,0,70) плосНа фронтальной
кости проекции нормаль
перпендикулярна
фронтали D2N2 ┴C2F2

37. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ

38.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ
И ПЛОСКОСТЬ, ПЛОСКОСТИ

39.

1.
ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА
ПАРАЛЛЕЛЬНА ЛЮБОЙ ПРЯМОЙ
ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ ПЛОСКОСТИ
2. ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ЕСЛИ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ

40.

• Через точку D провести прямую a
параллельную Δ АВС и плоскость
α(a∩b) параллельную Δ АВС

41.

a2
B2
b2
A2
Z
D2
a2 II B2C2
a II BC
a1 II B1C1
a II ΔABC
C2
(a b)
X
b1
A1
a II BC
D1
C1
b II AC
a1
B1
Y
a II ΔABC

42. Построить следы плоскости β, параллельной α и проходящей через точку А

αп2
βп2
F2
А2
F1
А1
βп1
αп1
Проведем через точку А горизонталь параллельную
горизонтальному следу плоскости α

43. ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

• ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ
ПРИНАДЛЕЖАЩИМ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ
• В соответствии с теоремой о проекциях
прямого угла прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна
одноименным проекциям горизонтали и
фронтали плоскости
· ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, ЕСЛИ ОДНА
ПЛОСКОСТЬ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДРУГОЙ

44. Задача

• Построить проекции нормали плоскости
a, проходящей через точку С плоскости

45.

C α
αп2
n2
С2
А2
А1
D2
X
O
С1
D1
n1
αП1

46.

• Через точку D провести перпендикуляр
к плоскости Δ АВС и плоскость α (n∩a)
перпендикулярную Δ АВС
• А(80,10,30)
• В(40,60,50)
• С(10,45,0)
• D(50,55,5)

47.

В2
F2
a2
n2
А2
H2
X
D2
С2
А1
n1
С1
F1
a1
D1
H1
В1
1. n1 А1Н1II П1
3. n2 С2F2II П2
4. а – произвольная
прямая

48. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ,
ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ОДНА ОБЩАЯ ТОЧКА

49.

п2
п2
а2
а2
К2
К2
X
X
O
O
К1
a1
К1
п1
a1
• Точка пересечения прямой и плоскости
частного положения определяется на
пересечении следа плоскости и проекции
прямой
п1

50. Пересечение прямой частного положения и плоскости общего положения

В2
a2≡К2
А2
m2
С2
В1
X
А1
К1
a1
О
С1

51. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ
ПЛОСКОСТЕЙ
1. Через
прямую проводят плоскость частного
положения α ┴ П1.
2. Определяют линию пересечения заданной
плоскости и введенной плоскости α.
3. Определяют точку пересечения заданной
прямой и построенной линии пересечения.
Это искомая точка пересечения заданной
плоскости и прямой а.
4. Определяют видимость заданной прямой.

52.

B2
αп2
a2
К2
D2
С2
Е2
A2
B1
αп1
D1
К1
A1
C1
E1
a1
Видимость прямой определяют по конкурирующим
точкам

53.

Видимость прямых определяют по конкурирующим точкам которые принадлежат скрещивающимся прямым.
Конкурирующие точки располагаются дальше или ближе
относительно плоскости П2 (точки А и В),
выше или ниже относительно плоскости П1 (точки C и D).
На горизонтальной плоскости проекций видима точка С имеющая
большую координату Z,
на фронтальной плоскости проекций видима точка А имеющая
большую координату Y.
С2
А2 Ξ В2
D2
X
В1
А1
D1Ξ C1

54.

Определение видимости прямой
B2
К2
Е21
F2
Е2
A2
F11
B1
F1 К1
A1
С2
C1
E1

55. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ

56.

1. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ
У НИХ ЕСТЬ ДВЕ ОБЩИЕ ТОЧКИ
2. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО
ПРЯМОЙ ЛИНИИ, КОТОРАЯ
ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ДВЕ ОБЩИЕ
ТОЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ

57.

B2
αп2
F2
К2
C2
X
αп1
A2
B1
O
F1
К1
C1
A1
• Линия пересечения фронтально-проецирующей
плоскости и плоскости общего положения определяется по точкам пересечения сторон треугольника
ΔАВС и фронтального следа плоскости α

58. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Для построения линии пересечения
плоскостей достаточно определить
две общие точки заданных плоскостей

59. Задача

Построить линию пересечения
треугольников ΔABC и ΔDEF.
A(100, 20, 20), B(65, 70, 70), C(10, 30,25),
D(90, 10, 55), E(45, 70, 0), F(20, 10, 65)

60.

61.

1. АВС ∩ DE = К
DE ┴ П2
2. АВС ∩ EF = L
EF ┴ П2

62. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

bп2
1.
АВС ∩ α = 1-2
1-2 ∩ DE = К
3.
АВС ∩ β =
3-4 ∩ EF= L
αп2
К
12 2
22
21
11 К1
32
L2
42
3. Определим видимость
треугольников.
41
L1
31
αп1 Ξbп1

63. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА

bп2
αп2
К2
К1
L2
L1
αп1 Ξbп1
• Видимость определяем по
конкурирующим точкам или
визуально.
• Вершины треугольников В и
F имеют большую координату Z (относит. других
вершин).
• В и F видимы на П1.
• Вершины В и Е имеют
большую координату У
(относит. других вершин).
• В и Е видимы на П2.