Однородная система линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений

1. Однородная система линейных алгебраических уравнений Фундаментальная система решений

О п р е д е л е н и е 1. Однородной системой
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),
состоящей из m уравнений с n неизвестными
х1,…,хn, называется система вида:
a11 x1 a1n xn 0
a x a x 0
21 1
2n n
am1 x1 amn xn 0
А x b , (1) (1)
1

2. Однородная система линейных алгебраических уравнений Фундаментальная система решений

a11
a 21
A
a
m1
a1n
a2n
a mn
матрица системы
x1
x вектор–столбец неизвестных
x
n

3. Однородная система линейных алгебраических уравнений Фундаментальная система решений

Система линейных однородных уравнений всегда
совместна, т. к. она всегда имеет, по крайней мере,
нулевое решение x (0; 0; .....0) . Если в системе
А x b , m n , а ее определитель отличен от
нуля, то такая система имеет только нулевое
решение, b=0.
Теорема1: Система линейных однородных
уравнений имеет ненулевое решение только и
только тогда , когда ранг ее матрицы r A n .
В этом случае система имеет k n r A свободных
неизвестных, которые обозначают с1 , , с k .

4. Однородная система линейных алгебраических уравнений Фундаментальная система решений

Обозначим решение системы
x1 k1, x2 k2,.....xn kn
виде строки e1 k1, k2,....kn .
Теорема 2: Если e1 k1, k2,....kn - решение системы, то
e1 k1, k2,.... kn - также решение этой системы.
Теорема 3: Если e1 k1, k2,....kn
и e2 l1, l2,....ln -
решения системы (1), то при любых
линейная комбинация 1e1 2e2
данной системы.
1 и 2
- также решение

5. Фундаментальная система решений (ФСР)

Определение . Система линейно независимых
решений e1 , e2 ,....ek называется фундаментальной,
если каждое решение системы (1) является линейной
комбинацией решений e1 , e2 ,....ek .
Теорема 4: Если ранг матрицы А r меньше числа
переменных n, то всякая фундаментальная система
решений системы (1) состоит из
n r решений.

6. Фундаментальная система решений

Пример. Найти общее решение и ФСР однородной системы
2 x1 x2 3 x3 x4 0
3 x1 2 x2 x3 0
x 3x 4 x x 0
2
3
4
1
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с
помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в
данном случае, так как система однородная, то ее правые части
равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов
можно не выписывать, так как при любых элементарных
преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

7.

Ранг матрицы равен 2, свободные неизвестные, x3 , x4 .
0 0 0
2 1 3 1
11
0 1
7
3 2 1 0
1 3 4 1
5
1
0
7
5
2
x
x
1 7 3 7 x4 0
x 11 x 3 x 0
2 7 3 7 4
0
3
7
2
7
x3 7c1 , x4 7c2
x1 5c1 2c2
x1
5
2
x 11c 3c
x
11
3
2
1
2
2
c1
c2
0
x3
7
x3 7c1
x4 7c2
x
0
7
4

8.

При
x1 0
2
5 x2 1
c1 ; c2
;
7
7 x3 2
x4 5
При
x1 1
1
1 x2 2
c1 ; c2
7
7 x3 1
x4 1