Поверхности. Лекция 4

1.

Лекция 4
ПОВЕРХНОСТИ
Красовская Н.И.

2.

Поверхность
– это совокупность всех
последовательных положений
некоторой перемещающейся в
пространстве линии
Красовская Н.И.

3.

Способы образования и задания
поверхностей.
Каркас поверхности.
Определитель поверхности
Красовская Н.И.

4.

Движущаяся в процессе образования
поверхности линия называется
образующей
Линия, по которой скользит образующая,
называется направляющей
Красовская Н.И.

5.

l n-k
l
l
n
m
l
n
C
Красовская Н.И.

6.

Совокупность намеченных на поверхности
образующих и направляющих линий
называется линейным каркасом
поверхности
Красовская Н.И.

7.

Σ
Φ
l
l
n
Красовская Н.И.
m

8.

Совокупность точек на поверхности,
выбранных таким образом, чтобы,
ориентируясь по ним, можно достаточно
полно представить форму поверхности,
называется точечным каркасом
поверхности
Красовская Н.И.

9.

Φ
l
m
Красовская Н.И.

10.

i
l
i
l
c
Красовская Н.И.

11.

Совокупность независимых условий,
однозначно задающих поверхность,
называется её
определителем
Ф(l,i)[A]
Красовская Н.И.

12.

а)
б)
l
S
S∞
l
m
Ф(l,m)[A]
Красовская Н.И.
m
Ф(l,m)[A]

13.

Очерк поверхности
Красовская Н.И.

14.

Очерк поверхности
при ортогональном проецировании –
это линия, ограничивающая проекцию
поверхности на плоскостях проекций
Красовская Н.И.

15.

Фронтальный очерк
П2
х
П1
Красовская Н.И.
Горизонтальный очерк

16.

Классификация
поверхностей
Красовская Н.И.

17.

По виду образующей все поверхности можно
разделить на
линейчатые
и
нелинейчатые
Красовская Н.И.

18.

У линейчатых поверхностей образующей
является прямая линия,
у нелинейчатых – кривая линия
Красовская Н.И.

19.

Линейчатые
поверхности
Красовская Н.И.

20.

l
n
m
А
Плоскость
l
m
n
А
Косая плоскость
l
n
Красовская Н.И.

21.

Коническая поверхность
S
l
Цилиндрическая
поверхность
А
l
А
s
m
m
Красовская Н.И.

22.

Пирамидальная
поверхность
Призматическая
поверхность
S
А
l
А
l
m
m
Красовская Н.И.
s

23.

Точка принадлежит поверхности,
если она лежит на какой – нибудь
линии этой поверхности
Линия
принадлежит поверхности,
если все ее точки принадлежат этой
поверхности
Красовская Н.И.

24.

S2
А2
М2
m2
m1
М1
А1
Красовская Н.И.
S1

25.

Алгоритм
построения недостающей проекции точки,
принадлежащей линейчатой поверхности
1. Через заданную проекцию точки, лежащей на поверхности,
проводится проекция простейшей линии, принадлежащей этой
поверхности
2. Строится вторая проекция этой линии
из условия ее принадлежности данной поверхности
3. По линии проекционной связи на построенной проекции линии
находится искомая проекция заданной точки
Красовская Н.И.

26.

S2
S
Ф
l
l2
А
A2
m2
m
x
m1
l1
A1
S1
Красовская Н.И.

27.

s2
s
l
l
2
A
Ф
2
m
A
2
x
m
m
A
s1
l1
Красовская Н.И.
1
1

28.

l2 S2
S
Ф
l
A2
A
m
m2
x
m1
A1
l1
S
1
Красовская Н.И.

29.

S
А
l
s2
Ф
2
l
m
A2
m2
x
m1
A1
s1
l
Красовская Н.И.
1

30.

Таким образом,
через каждую точку линейчатой
поверхности можно всегда провести
прямую линию
Красовская Н.И.

31.

Многогранники
Красовская Н.И.

32.

Многогранник –
замкнутая пространственная фигура,
ограниченная плоскими
многоугольниками
Красовская Н.И.

33.

Если все вершины и ребра многогранника
находятся по одну сторону плоскости
любой его грани,
то многогранник называется
выпуклым
Красовская Н.И.

34.

Правильные многогранники –
это фигуры, у которых все грани являются
правильными и конгруэнтными
многоугольниками, а многогранные углы при
вершинах – выпуклые и содержат одинаковое
количество граней.
(Все правильные многогранники можно
вписать в сферу)
Красовская Н.И.

35.

Правильными многогранниками
являются:
тетраэдр – правильный четырехгранник,
гексаэдр – правильный шестигранник,
октаэдр – правильный восьмигранник,
додекаэдр – правильный двенадцатигранник,
икосаэдр – правильный двадцатигранник
Красовская Н.И.

36.

Многогранники
тетраэдр
гексаэдр
додекаэдр
икосаэдр
октаэдр
Красовская Н.И.

37.

Пирамида –
это многогранник, одна грань которого –
многоугольник, а остальные –
треугольники с общей вершиной
Красовская Н.И.

38.

Правильная пирамида –
это пирамида, у которой основание является
правильным многоугольником, а высота
проходит через центр этого многоугольника
Красовская Н.И.

39.

S2
М2
М2
12
S1
Красовская Н.И.
М1
11
М1

40.

Призма
– это многогранник, две грани которого
представляют собой равные многоугольники
с взаимно параллельными сторонами, а все
другие грани – параллелограммы
Красовская Н.И.

41.

Прямая призма
– призма, ребра которой перпендикулярны
к плоским основаниям
Красовская Н.И.

42.

М2
М2
(С2)
12
С1
М1
11
Красовская Н.И.
М1

43.

Поверхности
вращения
Красовская Н.И.

44.

У поверхности вращения
геометрическая часть определителя
состоит из
образующей l и оси вращения i:
Ф (l,i)[A]
Красовская Н.И.

45.

Плоскости, перпендикулярные к оси
вращения, пересекают поверхность по
окружностям, которые называются
параллелями
Радиус каждой параллели измеряется
от оси до очерка
от оси до очерка !!!
Красовская Н.И.

46.

Наибольшую из параллелей называют
экватором,
наименьшую –
горлом
Красовская Н.И.

47.

Плоскость, проходящая через ось
поверхности вращения, называется
меридиональной,
а линия пересечения поверхности с этой
плоскостью называется
меридианом
поверхности
Красовская Н.И.

48.

Если меридиональная плоскость параллельна
фронтальной плоскости проекций П2,
то в сечении получается меридиан, который
называется
главным меридианом
Красовская Н.И.

49.

меридиан
меридиан
главный меридиан
главный меридиан
D
параллель
экватор
экватор
Красовская Н.И.
параллель

50.

51.

Примеры поверхностей
вращения
Красовская Н.И.

52.

i
Сфера
параллель
главный меридиан
l
A
меридианы
экватор
Красовская Н.И.

53.

видео

54.

Коническая поверхность вращения
S
i
А1
l
Красовская Н.И.

55.

56.

Цилиндрическая поверхность вращения
i
l
А1
Красовская Н.И.

57.

58.

тор открытый
тор закрытый
i
i
t
t
R
R
l
L
R<t
Красовская Н.И.
R>t

59.

60.

61.

Гиперболоид вращения
i
i
l
l
однополостный
Красовская Н.И.
двухполостный

62.

Параболоид вращения
i
l
Красовская Н.И.

63.

Эллипсоид
Красовская Н.И.

64.

R
A2
A1
Красовская Н.И.

65.

Алгоритм
решения задач на принадлежность точки поверхности
вращения
1. Через заданную проекцию точки проводят
проекцию вспомогательной параллели
2. Строят вторую проекцию этой параллели, измеряя ее радиус от
оси вращения до очерка поверхности
от оси до очерка !!!
3. По линии проекционной связи на построенной
проекции параллели находят недостающую проекцию
точки с учетом ее видимости
Красовская Н.И.

66.

Построение точки
на поверхности
сферы
Красовская Н.И.

67.

А2
(А3)
R
R
А1
Красовская Н.И.

68.

Построение точки
на поверхности прямого
кругового конуса
Красовская Н.И.

69.

S2
А
А2
S1
А1
Красовская Н.И.

70.

А2
(В2)
А
В1
А1
Красовская Н.И.
А3
В3

71.

Построение точки
на поверхности прямого
кругового цилиндра
Красовская Н.И.

72.

А
А2
А
(В2)
В1
А
Красовская Н.И.
1
(В3)
3

73.

ТОР
Красовская Н.И.

74.

i2
А2
(А1)
i
1
Красовская Н.И.

75.

Винтовые поверхности
Красовская Н.И.

76.

Все точки винтовой поверхности совершают
винтовые движения, описывая
винтовые линии – гелисы,
а поверхности называются
геликоидами
Красовская Н.И.

77.

Прямые геликоиды,
если угол наклона образующей
равен 90
Наклонные - если угол
не равен 90
Красовская Н.И.

78.

а)
x
Красовская Н.И.
б)
x

79.

Выводы:
- поверхность может быть получена вращением некоторой
образующей вокруг оси или движением ее по направляющей
- поверхность может быть задана на чертеже проекциями элементов
геометрической части ее определителя или
для достижения большей наглядности – очерком
- поверхности могут быть систематизированы в зависимости от вида
образующих и направляющих, а также от закона движения образующих
- для нахождения недостающей проекции точки, лежащей на
поверхности, пользуются характерными для данной поверхности
простейшими линиями
Красовская Н.И.

80.

Задача
1. Построить
профильную
проекцию конуса.
2. Достроить
проекции
заданных точек
на всех
проекциях
конуса.
А2
С2
В1
Красовская Н.И.