Теорема синусов. Геометрия 9 класс

1. Теорема синусов

Геометрия 9 класс

2. Вычислить площадь фигуры

3. Найти

высоты параллелограмма
высоту АН треугольника

4. Теорема синусов

Формулировка. Стороны треугольника
пропорциональны синусам
противолежащих углов.
A
a
= b
= c
sin A
sin B
sin C
b
С
c
a
B

5. Доказательство

Дано: АВС
ВС = а, СА = b, АВ = с
b
Доказать: a
=
sin A
sin B
A
b
=
c
sin C
Доказательство:
С
c
a
B
1
1
1
S ab sin C
S ca sin B
S bc sin A
2
2
2
1
1
1
1
bc sin A ca sin B
ab sin C bc sin A
2
2
2
2
a sin C c sin A
b sin A a sin B
a
c
sin A sin C
a
b
sin A sin B
a
b
c
sin A sin B sin C

6. Задачи

Нахождение стороны
Дано:
ВС = 80,
С = 58°
А = 75°
Найти: АВ
A
75°
58°
80
?
B
С
Решение.
ВС
АВ
=
sin A
sin C
ВС ∙ sin С
АВ =
sin А
80 ∙ sin 58°
80 ∙ 0,85
≈
АВ =
sin 75°
0,97
АВ ≈ 70
Нахождение угла
A
Дано:
ВС = 80,
75° 70
АВ = 70
А = 75°
?
Найти: С С
B
80
Решение.
ВС
АВ
=
sin A
sin C
sin C = АВ ∙ sin A
ВС
70 ∙ sin 75°
70 ∙ 0,97
sin C =
≈ 80
80
sin C ≈ 0.85,
С ≈ 58°

7. Замечание

Отношение стороны треугольника к
синусу противолежащего угла равно
диаметру описанной окружности
A
b
a
2R
= b
= c
=
sin A
sin B
sin C
R О
С
a
c
B

8. Пример

ВС = 16 см
А = 60°
R=?
A
ВС
2R
sin A
BC
16
R
2 sin A 2 sin 600
16
16 3
R
3
3
2
2
b
R
С
c
O
a
B