Тепломассообмен. Условия однозначности. Теплопроводность плоской стенки при стационарном тепловом режиме. (Лекция 3)

1.

Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и
возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОМАССООБМЕН
Лекция 3. Условия однозначности.
Теплопроводность плоской стенки
при стационарном тепловом режиме

2. Тепломассообмен Лекция 3

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ
Тепломассообмен
Лекция 3
Дифференциальное уравнение теплопроводности (ДУТ)
выведено из общих законов физики и, следовательно, описывает
процессы теплопроводности в любых условиях, т.е. описывает
бесчисленное множество явлений.
Для выделения из этого множества какого-то конкретного
процесса к ДУТ необходимо присоединить математическое
описание всех особенностей именно данного рассматриваемого
процесса.
Эти частные особенности называются условиями
однозначности, которые включают в себя:
геометрические условия (форма и размеры тела, в котором
протекает процесс);
физические условия (свойства тела и окружающей среды: с, λ,
, … ; закон распределения внутренних источников теплоты);
краевые условия
o начальные (временнЫе) условия (распределение температур
в теле в начальный момент времени);
o граничные условия, характеризующие взаимодействие тела с

3. ТМО Лекция 3

НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Необходимы при рассмотрении нестационарных процессов
и состоят в описании закона распределения температуры (т.е.
температурного поля) внутри тела в начальный момент
времени (τ=0).
В общем случае
tτ=0 = f (x, y, z).
При равномерном начальном распределении температуры
в теле НУ упрощаются
t = t0 = const.
Пример:
слиток металла, разогретый в кузнечном горне до
определенной температуры to (на глаз – по цвету), мгновенно
погружается в холодную воду, и с этого момента начинается
процесс охлаждения (закалка).

4. Тепломассообмен Лекция 3

ГРАНИЧНОЕ
УСЛОВИЕ первого родаЛекция 3
Тепломассообмен
(ГУ I рода)
Задаётся распределение температуры на
поверхности тела для каждого момента времени:
tс = f (x, y, z, τ).
В частном случае, когда температура на поверхности тела
является постоянной на протяжении всего процесса, условие
упрощается
tс = const.
Пример:
тело нагревается конденсирующимся паром или
охлаждается кипящей жидкостью. Температура поверхности
тела в любой момент времени может быть принята равной
температуре насыщения пара/жидкости (ts = const при р =
const).

5. Тепломассообмен Лекция 3

Граничное условие второго
рода
Тепломассообмен
Лекция
3
(ГУ II рода)
Задаётся величина плотности теплового потока для каждой
точки поверхности тела в любой момент времени:
æ ¶t ö
qc = f ( x, y , z,t ) = - lc ç ÷ .
è ¶n øc
В частном случае, когда плотность теплового потока на всей
поверхности тела постоянна на протяжении всего процесса
Адиабатные условия
(идеальная изоляция)
æ ¶t ö
qc = -lc ç ÷ = const
è ¶n øc
Пример: электрообогрев тела поверхностным нагревателем;

6. Тепломассообмен Лекция 3

Граничное условие третьего
рода
Тепломассообмен
Лекция
3
(ГУ III рода)
Задаются: температура окружающей среды и закон конвективного
теплообмена между телом и средой (коэффициент теплоотдачи α)
æ ¶t ö
qcж= с( t - t ) = -lт ç ÷
è ¶х øс
æ ¶t ö
ç ÷ = - ( t ж - tс )
lт
è ¶х øс
Индексы: "с" – поверхность тела (х=0), "т" – тело, "ж" – жидкость.
Данное условие является частным выражением закона
сохранения энергии для поверхности тела: количество
теплоты, которое подводится к поверхности тела от жидкости
в процессе теплоотдачи, равняется количеству теплоты,
отводимому теплопроводностью от поверхности внутрь тела.

7. Тепломассообмен Лекция 3

Граничное условие четвёртого
Тепломассообмен
Лекция рода
3
(ГУ IV рода; сопряжённая задача)
Применяется для расчёта теплового взаимодействия между
телами или телом и средой в случаях, когда ГУ 1-3 рода
сформулировать не удаётся.
При идеальном тепловом контакте должны соблюдаться
условия равенства температур и плотностей тепловых потоков на
границе раздела
t1,г = t2,г
æ ¶t1 ö
æ ¶t2 ö
l1 ç ÷ = l2 ç
÷ + qv
è ¶n øг
è ¶n øг
æ ¶t1 ö
æ ¶t2 ö
l1 ç ÷ = l2 ç
(qv = 0)
÷
è ¶n øг
è ¶n øг
Индексы: "г" – граница раздела тел (n=0), "1" и "2" – номера тел.
Сопряжённая задача сводится к нахождению температурных
полей по обе стороны от границы раздела.

8. Тепломассообмен Лекция 3

Стационарная
теплопроводность
плоской
стенки
Тепломассообмен
Лекция
3
(пластины) при ГУ I рода и qv = 0
Рассматривается безграничная однородная плоская стенка с
известными свойствами (λ = const), площадью поверхности F и
толщиной << высоты и ширины пластины.
На наружных поверхностях стенки
поддерживаются постоянные
температуры tс1 и tс2. В этих условиях
температура изменяется только по
толщине пластины – одномерная задача
(1D-problem)
Определить температурное поле в
стенке, плотность теплового потока и
количество теплоты, переносимой через
стенку теплопроводностью.
q, Qτ

9.

ТМО
Лекция 3
Дифференциальное уравнение теплопроводности
¶t
q
= aÑ 2t + v
¶t
c
Уравнение Фурье (qv = 0)
¶t
= aÑ 2t
¶t
Уравнение Пуассона (стационарная задача)
qv
aÑ t +
=0
c
2
Уравнение Лапласа (стационарная задача, qv = 0, а = const)
¶ 2t ¶ 2t ¶ 2t
+ 2 + 2 =0
2
¶x
¶y
¶z
Þ
aÑ t = 0
2
Ñ 2t = 0
d 2t
=0
2
dx

10.

ТПМатематическая формулировка
Лекция 3
задачи
Стационарная теплопроводность плоской пластины в отсутствие
внутренних источников тепла описывается одномерным [t = f(x)]
уравнением Лапласа
2
d t
= 0.
2
dx
(1)
Граничные условия I рода (для обеих
поверхностей пластины):
– при х = 0
t x =0 = t (0) = tc1
(2)
– при х =
t x = = t ( ) = tc 2
(3)

11.

Лекция
3
Решение
задачи
ТП
Уравнение (1) и условия (2) и (3) дают полную математическую
формулировку рассматриваемой задачи, решение которой –
распределение (поле) температур в стенке – находится путём двойного
интегрирования ур-я (1).
Первое интегрирование даёт
dt
= C1,
dx
(4)
где С1 – постоянная интегрирования.
Второе интегрирование даёт общее решение
t =С1x + С2,
(5)
что соответствует линейному закону изменения температуры по толщине
стенки (вдоль оси 0х).
Последовательно применяя к (5) граничные условия (2) и (3), находим
постоянные интегрирования
tc1 = C1 0 + C2
tc 2 = C1 + tc1
Þ
Þ
C2 = tc1 ,
tc1 - tc 2
C1 = .

12.

Подстановка
значений постоянных
интегрирования
в общее решение
ТП
Лекция
3
(5) приводит к частному решению уравнения (1), удовлетворяющему
граничным условиям (2) и (3)
tc1 - tc 2
x
t = tc1 x = tc1 - t .
(6)
Выражение (6) является уравнением стационарного температурного
поля в плоской стенке при ГУ I рода.
Величину t = (tс1 – tс2 ) называют температурным напором
(движущей силой теплопроводности; разностью потенциалов переноса
тепла).
Плотность теплового потока в стенке находится по закону
Фурье с учётом общего решения (4), связывающего производную
температуры с константой С1
dt
tc1 - tc 2
= C1 = ,
dx
dt
l
l
q = -l
=
( tc1 - tc 2 ) = t.
dx
(7)

13.

ИзТП
уравнения для плотности
теплового
потока (7) следует,
Лекция
3
что
( tc1 - tc 2 )
t q Þ t = q = qR
=
=
тпр
l
l
Подставляя это выражение в ур–е температурного поля (6)
получаем
q
t = tc1 - x,
l
что при прочих равных условиях температура падает по
толщине стенки тем круче, чем выше плотность теплового
потока q и/или ниже коэффициент теплопроводности λ .
Полное количество теплоты, переданное через стенку с
площадью поперечного сечения F за время τ , составит
l
l
Qt = qFt = ( tc1 - tc 2 ) Ft = t F t .

14. Тепломассообмен Лекция 3

Уравнение температурного поля
пластины
в
Тепломассообмен
Лекция
3
безразмерном виде
tc1 - tc 2
x
t = tc1 x = tc1 - t .
(6)
В уравнении (6) t = (tс1 – tс2) – полный температурный напор или
максимальная избыточная температура относительно наименьшей
температуры пластины tс2 .
Аналогичным образом можно определить локальный
температурный напор (t – tс2) при текущей координате х, отношение
которого к t даёт безразмерную температуру
t - tc 2
Qº
.
tc1 - tc 2
Входящее в (6) отношение текущей координаты х к толщине
пластины представляет собой безразмерную координату Х
≡ х/ .
С учётом этого уравнение температурного поля легко привести к виду
Q = 1- X .

15.

Вывод безразмерного уравнения. Уравнение (6)
стационарного температурного поля в плоской стенке:
tc1 - tc 2
x
t = tc1 x = tc1 - t
t - tc1 = - ( tc1 - tХ
c2 )
tc1 - t =
= tc1 - ( tc1 - tХ
c2 )
( tc1 - tХc 2 )
tc1 - t
=Х
tc1 - tc 2
t - tc 2
Qº
.
tc1 - tc 2
tc1 - t
t - tc 2
tc1 - tc 2
+
=
=1
tc1 - tc 2 tc1 - tc 2 tc1 - tc 2
1- Q = Х
tc1 - t
Þ
= 1- Q
tc1 - tc 2
Þ Q = 1- Х

16.

ТМО
Лекция 3 распределения
Графическое
представление
температуры в безразмерном виде
Q = 1- X
t - tc 2
Qº
t c1 - t c 2
x
X º

17.

ТП Учет зависимости
Лекция
λ от3 температуры
Предполагаем, что зависимость к-та теплопроводности от температуры
линейна
l ( t ) = l0 ( 1 + bt )
Тогда закон Фурье принимает вид (стационарная 1D задача)
dt
q = -l0 ( 1 + bt ) ,
dx
(a)
Разделим переменные и проинтегрируем (а) по х в пределах от 0 до и
по температуре от tс1 до tс2
tc 2
ò
0
q = l0 ( tc1 - tc 2 ) + l0b
2
2
t
t
( c1 c 2 )
2
Среднеинтегральное значение λ
в рассматриваемом интервале
температур (теорема о среднем)
qdx = - ò l0 ( 1 + bt ) dt
tc 1
é
tc1 + tc 2 ) ù
(
= l0 ê1 + b
ú ( tc1 - tc 2 )
2
ë
û
tc 2
1
lср =
l ( t ) dt
ò
t
tc1 - tc 2 c1

18.

lср
lср
q=
( tc1 - tc 2 ) = t ,
Т. обр.,
т.е. плотность теплового потока можно вычислять в предположении
λ = const, принимая его равным среднеинтегральному значению в
рассматриваемом интервале температур
é
tc1 + tc 2 ) ù
(
l = lср = l0 ê1 + b
ú = l0 ( 1 + btср.арифм )
2
ë
û
Интегрируя выражение (а) в пределах от 0 до текущей координаты х
и от tс1 до текущей температуры t , можно получить выражение для
температурного поля при λ(t)
2
ö 2qx
æ1
t = ç + t c1 ÷ èb
ø l0b
1
- =
b
æ1
ö 2lср x
t
ç + tc1 ÷ bl0
èb
ø
2
1
- ,
b
которое показывает, что температура в стенке изменяется не
линейно, а по степенной зависимости t(x) ~ (А – Вх)1/2 –
С.

19.

ТП
Лекция 3
Распределение температуры
в пластине
при постоянном и переменном λ
1
ö 2lср x
æ1
t = ç + t c1 ÷ t - ,
bl0
b
èb
ø
2
x
t = t c1 - t