Предел последовательности

1. Предел последовательности

Работа учителя
математики
Лицея №86
Даниловой С. Д

2.

1
lim 0
n n
1
yn
n
Все члены
последовательности
как бы «сгущаются»
около точки 0, то про
такую
последовательность
говорят, что она
сходится.
( yn )

3. Определение

Число b называют пределом
последовательности ( yn ) , если в
любой заранее выбранной
окрестности точки b содержатся все
члены последовательности, начиная
с некоторого номера.

4. Свойства сходящихся последовательностей

1.Если последовательность
сходится, то только к одному
пределу.
2.Если последовательность
сходится, то она ограничена.
3.Если последовательность
монотонна и ограничена, то она
сходится.

5. Теоремы о пределах

1.
lim q 0, если q 1
n
n
2.Предел стационарной
последовательности равен
значению любого члена
последовательности
lim C C
n

6. Теоремы о пределах

Если
lim xn b, lim yn c , то
n
n
1) предел суммы равен сумме пределов
lim ( xn yn ) b c
n
2)предел произведения равен произведению
пределов
lim ( x y ) bc
n
n
n
3) предел частного равен частному пределов
xn b
lim
n y
c
n
4)постоянный множитель можно вынести за знак
предела
lim (kxn ) kb
n

7. Пример 1

Найти предел
1
xn 2
n
1
1 1
1
1
lim 2 lim ( ) lim lim 0 0 0
n n
n n n
n n n n

8. Пример 2

а) lim ( 52 7 2) lim 52 lim 7 lim 2 0 0 2 2
n
n
n
n
n
n
2
n
n
2n
6
6
2
2 2
2
2
2
n
6
2
n
n
n
б) lim
lim 2
lim
2
2
n n 9
n n
n
9
9
1
1 2
2
2
n
n
n

9. Свойства пределов

Теорема1. Если последовательность
является частным двух многочленов
одинаковой степени, то её предел при
n равен частному коэффициентов
при старших степенях.
Теорема2. Если степень числителя
меньше степени знаменателя, то предел
последовательности при n равен 0
Теорема3. Если степень числителя
больше степени знаменателя, то предел
последовательности при n равен
бесконечности