Преобразование Лапласа и его свойства. Лекция 35

1.

Лекция 35.
Преобразование Лапласа
и его свойства.

2.

Введение
Преобразование Лапласа широко используется в
радиотехнике для решения самых разнообразных
задач, связанных с изучением сигналов.
На практике широко применяются таблицы
преобразования Лапласа, наличие таблиц сделало
метод преобразования Лапласа популярным как в
теоретических исследованиях, так и в инженерных
расчетах радиотехнических устройств и систем.
Преобразование Лапласа является исключительно
гибким и мощным методом, позволяющим путем
стандартных процедур находить решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.

3.

Преобразование Лапласа, его свойства.
Рассмотрим функции f (t) удовлетворяющие свойствам:
1.
f (t) непрерывна на всей числовой оси за исключением конечного
числа точек разрыва 1-го рода.
f ( t ),t 0
2.
f (t) такова что:
0
,
t
0
3.
Существуют такие постоянные M > 0, а > 0, что | f (t) | M eat,
t
Число а называется показателем роста функции.
Функции, удовлетворяющие 3-м свойствам называются оригиналами.
Пример оригинала функция Хевисайда (единичная)
1,t 0
( t )
0
,
t
0
( t ) sin t - оригинал
1-ое свойство удовлетворяется
sin t ,t 0
2-ое свойство ( t ) sin t
0,t 0

4.

Чтобы получить оригинал надо умножить эту функцию на функцию
Хевисайда.
Условимся, что все функции, которые рассматриваются уже умножены
на функцию Хевисайда и запись
1,t 0
1( t )
или
0 ,t 0
sin t ,t 0
sin t
0,t 0
Поставим в соответствие каждой функции из множества оригиналов с
помощью преобразования:
f ( t )e pt dt F ( P )
0
некоторую функцию F (P),
где p = x + iy – некоторые числа (лежащие справа от оси y).

5.

Функцию F (P) называют изображением для функции f (t)
f (t ) F ( P)
Интегральные преобразования называются преобразованием Лапласа
Рассмотрим интеграл (t )e pt dt
0
- единичная функция Хевисайда
e pt
e xt e iyt
pt
1e dt lim
lim
p 0
p
0
e x e iy 1
lim
p
p
0
e x (cos(y ) i sin( y ) 1 1
lim
p
p p
x>0
Преобразование Лапласа переводит функции
переменных в функции комплексного переменного.
действительных

6.

Линейность преобразований Лапласа. Свойства.
Если f (t) и (t) таковы что: f (t ) F ( P) , (t ) ( p) , то:
f (t ) (t ) F ( P) ( P)
, - некоторые комплексные числа
Доказательство:
Найдем преобразования Лапласа от функции
pt
f
(
t
)
(
t
)
e
dt
0
Пользуясь свойством линейности интеграла имеем:
f ( t )e
0
pt
dt ( t )e
def
dt F ( P ) ( P )
0
f ( t ) ( t ) e
0
pt
pt
def
dt
(преобразования
комбинации) = f (t ) (t ) F ( P) ( P)
Лапласа
от
линейной

7.

Область сходимости преобразования Лапласа.
Аналитичность преобразования Лапласа.
Теорема (об области сходимости):
Пусть f (t) - оригинал. Тогда
f ( t )e pt dt сходится для всех p, Re p > a.
0
Если же Re p x0 > a, то сходимость равномерная.
Доказательство:
Так как f (t) – оригинал, следовательно | f (t) | M eat, а – показатель
роста функции. Тогда
0
f ( t )e
pt
dt f ( t ) e
pt
dt M e at e pt dt
0
0
p – произвольные комплексные числа.
p = x + iy
Значит e pt e xt e iyt e pt e xt e iyt e xt e iyt
1
M e at e xt dt
0
По определению несобственного интеграла:
e ( x a )
e ( x a )t
1
( x a )t
e
dt
lim
lim
( x a ) 0
( x a )
x
a
0

8.

Так как действительная часть p : Re p = x > a (по условию), то
x – a > 0 => - ( x – a ) < 0.
-
e ( x a )
Значит
0, когда η +
( x a )
M
, x>a
x a
0
Это означает, что интеграл сходится, причем абсолютно.
Если x x0 > a – то сходимость будет равномерная.
Начертим область сходимости преобразования Лапласа. Область
сходится, когда Re p > a, a – действительное число.
Областью
сходимости
преобразования
Лапласа
является
заштрихованная область.
f ( t )e pt dt

9.

Теорема (об аналитичности преобразования Лапласа) Преобразования
Лапласа, сопоставляющие оригиналу f (t ) F ( p) изображение F (p) с
помощью формулы F ( p) f (t )e pt dt является аналитической функцией в
0
области Re p > a, т.е. F (p) – аналитическая функция.
Изображения некоторых элементарных функций.
1
1 , Re p > 0
p
e ( p )t
t
at pt
( a p )t
dt lim
e . Найдем интеграл функции e e dt e
p
0
0
e ( p )
1
1
пусть Re p Re lim
p p p
0
1
t
e
, Re p > Re
p
0

10.

Т а б л и ц а 1.
Линейность
Таблица теорем
af (t ) bg (t ) aF ( p) bG( p)
Подобие
f ( t ) 1 F
p
Затухание
eat f (t ) F p a
Запаздывание
f t e p F ( p)
Дифференцирование
f (t ) pF ( p ) f (0)

11.

Примеры:
1) f (t ) eat sin wt .
Так как sin wt =
w
a
at
e
sin
wt
,
по
теореме
затухания
.
2
2
2
2
p w
p a w
2)
1
0
t
0, если t 0,
(t ) 1, если 0 t ,
0, если t
1
1 1
(t ) h(t ) h(t ) e p 1 e p .
p
p p
3)
0, t T ,
(t ) 1, T t T ,
0, t T
1
0
T
T
t
(t ) h(t T ) h(t T ) (t ) e Tp
1
1 1
p T
e e pT 1 e p
p
p p