Решение задач 14 ЕГЭ
Цель проекта
Задачи
Типы задач
Нахождение расстояния от точки до прямой
Нахождение расстояния от точки до плоскости
Нахождение расстояния между плоскостями
Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Угол между скрещивающимися прямыми
Сечения многогранников
Объем многогранников
2.53M
Категория: МатематикаМатематика

Решение задач 14 ЕГЭ

1. Решение задач 14 ЕГЭ

Попов Сергей 10 МБОУ «Ергачинская СОШ»
Руководитель: Кучукбаева Т.А.
20.12.2017

2. Цель проекта

• Научится решать задачи 14 части ЕГЭ различными
способами

3. Задачи

• Рассмотреть различные типы задач 14 ЕГЭ
• Рассмотреть различные способы решения задач 14 ЕГЭ

4. Типы задач


Расстояние между скрещивающимися прямыми
Расстояние от точки до прямой и до плоскости
Расстояние между плоскостями
Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями
Угол между скрещивающимися прямыми
Сечения многогранников
Объёмы многогранников
Первое полугодие
Второе полугодие

5. Нахождение расстояния от точки до прямой

6.

S
Аналитический
метод
Дано: SABСD-правильная
M
h
D
C
P
A
О
B
четырехугольная пирамида. AB= 6 ,
высота h= 33 ,т. Р-середина AD, т.Тсередина BC, т.М-середина SC.
Найти: расстояние от т.Р до МТ.
T
Решение:
•Доп. построение PT
•PT=AB=√6
•ΔABD: ∠DAB=90°, тогда по т.Пифагора DB= AD2 AB2 2 3
OB=DB/2=√3
2
2
•ΔSOB: ∠SOB=90°, тогда по т.Пифагора SB= OB SO 6
Источник: Задания С2 ЕГЭ 2014

7.

• Построим сечение (PTM):
PT||DC
=> PT||(SDC) по признаку параллельности
DC⊂(SDC) прямой и плоскости
• PT||(SDC)
PT⊂(PTM)
(PTM)∩(SDC)=MK
• KM||PT
PT||DC
=>KM||DC, SM=MC, тогда по теореме
Фалеса K-середина SD
• P,K,M,T∈(MTP), KM||PT=>□KMTP-равнобокая
трапеция c основаниями KM и PT
•KM= 6 по свойству средней линии
M
K
D
=>MK||PT по теореме
• PK-средняя линия, тогда PK=AS/2=SB/2=MT=3
2
S
С
P
A
T
B

8.

•Доп. построение KH и MF-высоты, KM=HF= 6
2
•ΔPKH=ΔMFT по двум катетам , тогда PH=FT=
√6
2
K
M
PT - HF
6
2
4
•ΔMFT, ∠MFT=90º, тогда по т.Пифагора MF= MT 2 FT 2
X
138
4
• Доп. построение PX┴ MT, PX-искомое расстояние
• SMPT=MF*PT/2
SMPT=PX*MT/2
=>MF*PT=PX*MT
138
* 6
MF
*
PT
23
4
•PX=
MT
3
2
Ответ:
23
2
P
H
6
F
T

9.

S
z
четырехугольная пирамида. AB=√6 ,
высота h= √33 ,т. Р-середина AD, т.Тсередина BC, т.М-середина SC.
Найти: расстояние от т.Р до МТ.
M ( 6 ; 3 6 ; 33 )
4 4
2
x
H (x;y;z)
D
C
(0;0;0) P
A
B
T (0;√6;0)
Решение:
• Поместим фигуру в систему координат
• Пусть PH-искомое расстояние, тогда PH * MT 0
• PH {x; y; z}; MT { 6 ; 6 ; 33 }
4
Дано: SABСD-правильная
Векторный метод
6
6
33
x
y
z 0
4
4
2
6 x 6 y 2 33 z 0
4
2
y

10.


6
3 6
33
6
6 33
x;
y;
z} MT { ;
;
}
4
4
2
4
4
2
6
3 6
x
y
4
4
, тогда x=√6-y
6
6
4
4
3 6
33
y
z
4
2
, тогда z=2√33- √22y
6
33
4
2
6 ( 6 y ) 6 y 2 33 (2 33 22 y ) 0
23 6
24
6
x
24
2 33
z
24
PH y 2 x 2 z 2
S
z
MH {
M
x
(
6 3 6 33
;
;
)
4 4
2
H (x;y;z)
D
C
(0;0;0) P
A
B
T (0;√6;0) y
y
Ответ :
23
2
6 x 6 y 2 33 z 0
23 * 23 * 6 6 33 * 4
23
24
2

11. Нахождение расстояния от точки до плоскости

12.

C1
Метод объемов
B1
D1
A1
K
X
P
D
Решение:
C
Q
Дано: куб ABCDA1B1C1D1 со
стороной 12. т.P ∈ DC, DP=4, т.Q ∈
AB, B1Q=3.
Найти: расстояние h от т. С до (APQ).
B
A
VXPKC=SXKP*h/3=SXPC*KC/3
• Построим сечение (APQ):
• K,P,X ∈(APQ)=> искомое расстояние будет равно расстоянию от т. С до (XKP),
тогда h-высота тетраэдра KXPC, проведенная из вершины С.
• Рассмотрим ΔXCP и ΔXBA:
∠ABC=∠XCP=90º
=> ΔXCP ~ ΔXBA по Ι признаку подобия треугольников
∠AXB-общий
Источник: Задания 14 ЕГЭ 2016

13.

•ΔXCP ~ ΔXBA, тогда PC XC
AB XB
12 4
XC
; XC 24
12
XC 12
• Рассмотрим ΔXCKи ΔXBQ:
∠QBC=∠XCK=90º => ΔXCK ~ ΔXBQ по Ι признаку
подобия треугольников
∠QXB-общий
X
XC KC
24
KC
;
XB QB 12 24 12 3
KC 6
• XCP : XCP 90 , по т.
Пифагора
XP
PCK : PCK 90 , по
т.
Пифагора
PK PC 2 KC 2 24 2 6 2 6 17
XCK : XCK 90 , по
т.
Пифагора
XK
XC 2 PC 2 24 2 8 2 8 10
XC 2 KC 2 24 2 8 2 8 10
100 640 612 - 2 * 6 17 * 8 10 * cos PXK
12
170
, тогда sinPXK= 26
170
B1
D1
A1
K
C
Q
B
P
D
•ΔXPK: по теореме косинусов PK 2 XP 2 XK 2 2 * XP * KX * cos PXK
cos PXK
C1
A

14.

• SXKP=sinPXK*XK*XP/2
K
SXKP=
26
* 6 17 * 8 10 / 2 24 26
170
• SXPC=XC*PC/2=24*8/2=96
• VXPKC=SXKP*h/3=SXPC*KC/3
24 26 * h 96 * 6
12 26
13
12 26
Ответ :
13
h
X
C
P

15.

z
C1
D1
A1
(8;0;0) C (0;0;0)
P
x
D
Дано: куб ABCDA1B1C1D1 со
B1
стороной 12. т.P ∈ DC, DP=4, т.Q ∈
AB, B1Q=3.
Найти: расстояние h от т. С до (APQ).
Q (0;12;9)
B
y
Метод координат
A (12;12;0)
• Поместим куб в систему координат
• Уравнение плоскости (APQ): ax+by+cz+d=0
8а+d=0
12a+12b+d=0 ;
12b+9c+d=0
ax -
ay 4az
8a 0
3
3
d=-8a
12a+12b-8a=0 ;
12b+9c-8a=0
d=-8a
b=-a/3 ;
-4a+9c-8a=0
d=-8a
b=-a/3
c=4a/3

16.

C1
D1
• Уравнение плоскости (APQ): 3x-y+4z-24=0
h
| 24 |
9 1 16
12 26
Ответ :
13
12 26
13
B1
A1
(8;0;0) C (0;0;0)
P
x
Q (0;12;9)
B
A (12;12;0)
D
English     Русский Правила