Электрические цепи переменного тока

1.

2. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
2.1. Основные понятия о переменном токе
е
Em
t
T
Рис. 15. Временная диаграмма
изменения синусоидальной
ЭДС
e Em sin t;
i I m sin t;
u U m sin t ,
(57)
2 f
(58)
1
T
Im
U
E
I
U m E m
2
2
2
f
(59)
(60)

2.

2.2. Элементы и параметры электрических цепей переменного тока
2.2.1. Цепь переменного тока с активным сопротивлением
i
u, i
u
u
u=Um sin t
i
i
R
ω
t
i I m sin t
I
U
I
Рис. 16. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока
и векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением
u, i,
p
p
u
i
ωt
Рис. 17. Графики изменения мгновенных значений тока,
напряжения и мощности в цепи с активным сопротивлением
u U msin t
I msin t
R
R
U
R
(61)
(62)
(63)
р u i U m I msin 2 t
(64)
P I 2R
(65)

3.

2.2.2. Цепь переменного тока с индуктивным элементом
u, i, e
i
u
L
u
U
i
ωt
eL
I
90°
Рис. 18. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока, ЭДС
самоиндукции и векторная диаграмма для цепи с индуктивным элементом
u, i, p
eL L
p
u
i
ωt
(66)
u eL
(67)
d I msin t
di
L
I m L cos t
dt
dt
u I m L cos t U m cos t U msin t 90
X L L 2πfL
(68)
(69)
(70)
U
XL
(71)
QL I 2 X L
(73)
I
Рис. 19. Графики изменения напряжения, тока
и мощности в цепи с индуктивным сопротивлением
i I msin t
(72)
1
р u i U msin t 90 I msin t U m I msin2 t
2

4.

2.2.3. Цепь переменного тока с емкостным элементом
u, i
i
u
C
u
i
ωt
I
U
90º
Рис. 20. Электрическая схема, графики изменения напряжения, тока
и векторная диаграмма для цепи с емкостным элементом
u U m sin t
i
(74)
d U msin t
dq
du
C
C
U mC cos t U mC sin t 90
dt
dt
dt
i U mC sin t 90 I msin t 90
1
1
С 2π f С
U
I
XC
XC
(76)
(77)
(78)
1
р u i U msin t I msin t 90 U m I msin2 t .
2
(79)
QC I 2 X C
(80)
(75)

5.

2.3. Анализ неразветвленной цепи переменного тока
R
XL
Ua
UL
u(U)
XC
U
UL–UC=UP
UC
φ
Ua
i(I)
Рис. 23. Треугольник
напряжений
Рис. 21. Последовательное соединение активного,
индуктивного и емкостного сопротивлений
UL
UC
U
φ
Ua
I
Рис. 22. Векторная
диаграмма для схемы,
состоящей из
последовательно
соединенных активного,
индуктивного
и емкостного
сопротивлений
U a I R;
U L I X L ;
U C I X C .
(81)
U U a U L UC
(82)
U L UC
(83)
U L UC
(84)
U U a2 U L UC 2 I 2 R 2 I X L I X C 2
I R 2 X L X C 2 .
I
U
R X L X C
2
2
Z R 2 X L X C 2
U
Z
(86)
(87)
(85)

6.

Z
S
XL–XC=X
φ
QL–QC=Q
φ
R
P
Рис. 24. Треугольники сопротивлений и мощностей
Z R2 X L X C 2
cos
R
Z
sin
X
Z
S IU
(88)
(89)
(90)
S P 2 Q 2 P 2 QL QC 2
cos
P
S
P S cos IU cos
sin
Q
S
Q S sin IU sin
(92)
(93)
(94)
(95)
(91)

7.

2.4. Резонанс напряжений
X L XC
UL
рез L
UС
Ua=U
I
Рис. 25. Векторная
диаграмма при
резонансе напряжений
1
резС
рез
I
(96)
1
0
LC
(97)
(98)
U
U
U
U
Z
R2 ( X L X C )2
R2 0 R
U L UC
(100)
X L XC R
(101)
(99)

8.

2.5. Пример расчета неразветвленной цепи переменного тока
R1
XL1
XL2
R2
XC1
XC2
u(U)
i(I)
Рис. 26. Неразветвленная цепь переменного тока
Дано:
R1=2 Ом;
R2=2 Ом;
XL1=4 Ом;
XL2=5 Ом;
XС1=4 Ом;
XС2=2 Ом;
U=220 B.
Z R2 ( X L X C )2
Z R2 ( X L X C )2 42 (9 6)2 5 Ом
I
U 220
44
Z
5
cos
R 4
0,8
Z 5
sin
XL XC 9 6 3
0,6
Z
5
5
φ=36º50′
S=U∙I=220∙44=9680 ВА=9,680 кВА
P S cos φ=9680∙0,8=7744 Вт=7,744 кВт
Q=S∙sin φ=9680∙0,6=5808 ВАр=5,808 кВАр

9.

Ua=I∙R
UL2
Ua2
UL1
φ Ua1
UC1
UL=I∙XL
UC2
UС=I∙XС
U
I
Рис. 27. Векторная
диаграмма для
неразветвленной цепи
U L1 I X L1 44 4 176 U a1 I R1 44 2 88
U L 2 I X L 2 44 5 220 U a 2 I R2 44 2 88
U C1 I X C1 44 4 176
I I / mI
U C 2 I C 2 4 2 88
44 А
4,4 см
10 А/см
UL1 U L1 / mU
176 Β
4 см
44 В / см
Ua1 U a1 / mU
88 Β
2 см
44 В / см
UL 2 U L 2 / mU
220 Β
5 см
44 Β / см
Ua 2 U a 2 / mU
88 Β
2 см
44 Β / cм
UC1 U C1 / mU
176 Β
4 см
44 Β / cм
UC 2 U С 2 / mU
88 Β
2 см
44 Β / cм
U a1 U L1 U a 2 U L 2 U C1 U C 2
U U a1 U L1 U a 2 U L2 UC1 UC 2 .

10.

2.6. Анализ разветвленной цепи переменного тока
методом проводимостей
i(I)
R1
i1(I1)
u(U)
R2
U
U
Z1
R12 X L21
(102)
I2
U
U
Z2
R22 X C21
(103)
i2(I2)
XL1
XC2
Рис. 28. Электрическая цепь
с двумя параллельными ветвями
cos 1
(105)
I1 I a1 I p1;
I 2 I a 2 I p 2 .
(106)
φ
U
φ1
Ia1
Ip1
Ia2
(104)
U R1
R
U 12 U g1;
Z1 Z1
Z1
U R2
R2
I 2 cos 2
U 2 U g 2 ,
Z2 Z2
Z2
I a1 I1 cos 1
I
φ2
R1
R
cos 2 2
Z1
Z2
I I1 I 2
I2
Ip2
Ip
I1
Ia
I1
Рис. 29. Векторная диаграмма для электрической цепи
с двумя параллельными ветвями
Ia2
g g1 g 2
I p1 I1 sin 1
(107)
(108)
U X L1
X
U L21 U bL1
Z1 Z1
Z1
I р 2 I 2 sin 2 U bC 2
(109)
(110)

11.

i
1
;
g1 g 2
1
X Lэ
;
bL1
1
X Cэ
.
bC 2
Rэ
Rэ
u
ia1+ia2
iL
XLэ
iC
ХСэ
Рис. 30. Эквивалентная схема разветвленной цепи
I p I p1 ( I p 2 ) U bL1 ( U bC 2 ) U [(bL1 ( bC 2 )]
g g n b bn
(113)
I I a2 I 2p (U g ) 2 (U b) 2 U g 2 b 2 U у
(114)
I U ( g )2 ( b)2
(115)
(112)
(111)

12.

2.7. Резонанс токов
i
(116)
bL=bC
R
u
iL
ia
L
bL
iC
C
1
рез L
резC
Рис. 31. Электрическая схема разветвленной цепи,
иллюстрирующая резонанс токов
рез
; bС резC (117)
1
рез L
(118)
1
LC
(119)
U
Ia=I
IC
IL
Рис. 32. Векторная
диаграмма для
разветвленной
цепи при резонансе
токов
I U y U g 2 b L bС 2
(120)
I U g
(121)

13.

2.8. Пример расчета разветвленной цепи переменного тока
Дано: U=127 В;
f=50 Гц;
R=10 Ом;
L=63,7 мГн;
С=212 мкФ.
(i)I
R
(i1) I1
(u)U
(i2)I2
L
C
Рис. 33. Схема разветвленной электрической цепи
XL=ωL=314·63,7·10-3=20 Ом
XC
1
10 6
15
C 314 212
Z1 R12 X L2 102 202 22,4
I1
U 127
5,67
Z1 22,4
I2
U 127
8,47
X C 15
g1
R
10
0,02
2
Z1 22,4 2
XL
20
0,04
Z12 22,4 2
1
1
0,067
X C 15
bL1
bC 2
y g12 (bL1 bC 2 )2 0,022 (0,04 0,067)2 3,36 10 2

14.

I=U∙y=127·3,36·10-2=4,27 А.
I
Ip2
φ
1 arctg
U
Ia1
bL1
0,04
arctg
arctg2 64
g1
0,02
φ2=90º
Ip1
arctg
Рис. 34. Векторная
диаграмма для
разветвленной цепи
b b
b
0,04 0,067
arctg L1 C 2 arctg
arctg( 1,35) 53 30
g
g1
0,02
S=U∙I=127·4,27=542 ВА
Р=S∙cos φ=542·0,59=320 Вт
Q=S∙sin φ=542·0,8=434 ВАр
Ia1=U·g1=127·0,02=2,54 A; Ip1=U·b1=127·0,04=5,08 A
Ip2=I2=8,47 A
mU 20
В
см
mI 2
A
см

15.

2.9. Пример расчета цепи переменного тока
со смешанным соединением нагрузки
R2
R1
a
L1
C2
i2(I2)
b
c
L3
i1(I1)
(u)U
i3(I3)
Рис. 35. Схема электрической цепи
со смешанным соединением нагрузки
XL1=2πfL1=2·3,14·50·10·10-3=3,14 Ом
XC2
1
1
8 Ом
2πfC2 2 3,14 50 400 10 6
XL3=2πfL3=2·3,14·50·50·10-3=15,7 Ом
Z1 R12 X L21 32 3,142 4,34 Ом
Z 2 R22 X C2 2 32 82 8,5 Ом
Z3 R32 X L23 02 15,72 15,70 Ом
Дано: U=220 В;
f=50 Гц;
R1=3 Ом;
R2=3 Ом;
L1=10 мГн;
L3=50 мГн;
С2=400 мкФ

16.

R
X
b
Z2
Z2
R
3
g 2 22 2 0,0414 См
Z 2 8,5
g
bС 2
XС2
8
0,1105 См
Z 22
8,52
bС 2
XС2
8
2 0,1105
2
Z2
8,5
bL3
X L3 15,7
0,0637 См
Z 32 15,7 2
а
b
Rbc
См
U bc I1Z bc
I1
13,45
218 В
ybc 0,0622
U ab I1Z1 13,45 4,34 58,4 В
bbc bL3 bC 2 0,0637 0,1105
12,1 Ом
2
2
ybc
ybc
0,0622 2
I2
U bc 218
U
218
25,7 А I 3 bc
13,9 А
Z2
8,5
Z 3 15,7
S U I 220 13,45 2960 ВА 2,96кВА
P U I cos S cos
cos
Rэкв R1 Rbc 3 10,7
0,84
Z экв
Z экв
16,35
Z экв ( R1 Rbc ) ( X L1 X bc )
Р=2960·0,84=2490 Вт=2,49 кВт
Q U I sin S sin
(3 10,7)2 (3,14 12,1)2 16,35 Ом
sin
I1
U
220
13,45 А
Z экв 16,35
c
Рис. 36. Эквивалентная схема для расчета цепи
со смешанным соединением нагрузки
g bc g 2 g 3 0,0414 0
10,7 Ом
2
2
ybc
ybc
0,0622 2
2
Xbc
i1(I1)
(0,0414 0)2 (0,0637 0,1105)2 0,0622 См
X bc
XL1
u(U)
ybc ( g 2 g3 )2 (bL3 bC 2 )2
Rbc
R1
2
X экв X L1 X bc 3,14 12,1
0,54
Z экв
Z экв
16,35
Q=2960·0,54=1600 ВАр=1,6 кВАр

17.

I2
φ1
Uab
I1
φ2
φ3
U
cos 2
R2
3
0,353
Z 2 8,5
cos 3
R3
0
0
Z 3 15,7
φ
Ubc
I3
Рис. 37. Векторная диаграмма
для схемы со смешанным
включением нагрузки
φ2=69º20'
φ3=90º
I1 I 2 I3
cos 1
R1
3
0,692
Z1 4,34
φ1=46º15'
U U ab Ubc
cos
Rэкв 13,7
0,84
Z экв 16,35
φ=32º45'