Магнитное поле в вакууме

1.

Магнитное поле в вакууме
Основные уравнения магнитного поля
Уравнения магнитостатики:
div B 0
rot B 0 j
Теорема Гаусса для вектора B
div B 0
– теорема Гаусса для B
(дифференциальная форма)
По теореме Остроградского–Гаусса
B dS 0
B dS divB dV
– теорема Гаусса для B
(интегральная форма)

2.

Магнитное поле в вакууме
Основные уравнения магнитного поля
Теорема о циркуляции вектора B
rot B 0 j
– теорема о циркуляции B
(дифференциальная форма)
По теореме Стокса
B dr rotB dS
rotB dS j dS I
S
0
S
B dr 0 I
0
S
– теорема о циркуляции B
(интегральная форма)
I
S

3.

Магнитное поле в вакууме
Применение теоремы о циркуляции вектора B.
Магнитное поле прямого тока
Из симметрии следует:
O
1. Линии вектора B – окружности с центром на оси OO'
2. B = B(r)
I
B dr B 2 r
r
a
O'
B
B 2 r 0 I , где I – ток, охватываемый
окружностью радиуса r
B
0 I
2 r
(r a)
0 I r
2 a 2
(r a)

4.

Магнитное поле в вакууме
Применение теоремы о циркуляции вектора B
Магнитное поле соленоида
l
Из симметрии следует:
1. B z
2. B = B(r), вне соленоида B = 0
I
B
z
B 0
B dr B l
B l 0nIl , где n – плотность намотки (N/L),
I – ток в проводе
B 0 nI
nI – число ампервитков

5.

Магнитное поле в вакууме
Вектор-потенциал
j dV
r
По закону Био-Савара
r r
dB
r
B(r )
B
O
0 j (r ) (r r )
dV
3
4
|r r |
….
0
j ( r )
dV
4
| r r |
B rotA
Отсюда
j
A 0 dV
4 r
По аналогии с
A – вектор-потенциал магнитного поля
1
dV , 0
4 0 r
уравнение для вектор-потенциала
A 0 j

6.

Магнитное поле в вакууме
Магнитный диполь
r
Магнитный диполь – система токов малых размеров
(т.е. r >> a).
Для витка с током
a
I
A 0
4
dr
| r r |
r r
Плоский виток
m
n
I
m ISn
A
0 m r
, m
3
4 r
B rotA
1
2
I
r dr
0 m 3( m, r ) r
3
4 r
r5
m – магнитный
момент

7.

Магнитное поле в вакууме
Магнитный диполь
Взаимодействие диполя с магнитным полем
F
Idr B
– сила, действующая на диполь
M
r ( Idr B)
– момент сил, действующий на диполь
B
F
F (mB )
m
M
M m B
B
U mB
– потенциальная энергия жесткого диполя
в магнитном поле

8.

Магнитное поле в вакууме
Прецессия магнитного диполя. Магнитный резонанс
B
Уравнение движения диполя
L
m
gB
dL
m B , где L – момент импульса
dt
Рассмотрим случай m gL , где
g – гиромагнитное отношение
dL
L
dt
gB
– прецессия (движение m по конусу вокруг B)

9.

Магнитное поле в вакууме
Прецессия магнитного диполя. Магнитный резонанс
Составные системы (атомы, молекулы)
B
L
m , m прецессирует вокруг L
В среднем m gL
(в слабых полях)
L
m
dL
m B
dt
– прецессия <m>, L вокруг B
gB
Гиромагнитное отношение g сложной системы
позволяет судить об ее “устройстве”.

10.

Магнитное поле в вакууме
Прецессия магнитного диполя. Магнитный резонанс
Магнитный резонанс
B0 – постоянное магнитное поле
B0
B – слабое вращающееся поперечное
магнитное поле
B
m
При = возникает резонанс –
происходит переворачивание m и
поглощение энергии генератора B
Из измеренных и B0 находится g
Применение магнитного резонанса
ЭПР (электронный парамагнитный
резонанс) – резонанс магнитных
моментов атомов и молекул:
анализ химического состава вещества
ЯМР (ядерный магнитный резонанс) –
резонанс магнитных моментов ядер:
прецизионное измерение B,
анализ строения молекул

11.

Магнитное поле в вакууме
Работа по перемещению контура с током
dF I dl B
I
dl
dF r I (dl B ) r
r
Пример:
n
B
180
работа силы Ампера по перемещению элемента dl
dA I (dl B, r ) I ( r dl , B)
dS
S
I
A I [ BS ( BS )] 2 IBS
dA I d
– работа по перемещению
контура с током

12.

Магнитное поле в вакууме
Давление магнитного поля
z
давление
магнитного поля
dF
f ( x )dx
dS
f ( x ) j ( x ) B( x ) объемная плотность
силы Ампера
B
F
x
“прямоугольный”
соленоид
B
0 j
x
теорема о
циркуляции
dF
1
B
1
B2
B dx BdB
dS
0
x
0 B
2 0
0
dF B 2
dS 2 0
B2
2 0
– объемная плотность
энергии магнитного поля

13.

Электромагнитная индукция
Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца
BdS
– магнитный поток
В замкнутом проводящем контуре при изменении
магнитного потока, охватываемого этим контуром,
возникает индукционный ток.
Это означает, что в контуре возникает ЭДС индукции.
L
ddt
Правило знаков
n
L
Направление L и n
связаны правилом
правого винта
– закон электромагнитной индукции
(закон Фарадея)
Правило Ленца
индукционный ток направлен так,
что создаваемое им поле
препятствует изменению
магнитного потока

14.

Электромагнитная индукция
Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца
Способы возбуждения ЭДС
P
L
B
1) Перемещение рамки Р
(или ее частей)
2) Изменение магнитного поля
а) перемещение катушки L
б) изменение тока I в катушке
I
Г
Катушка: N витков, Ф1 – поток через один виток
N 1
– полный магнитный поток (потокосцепление)

15.

Электромагнитная индукция
Природа электромагнитной индукции
Возбуждение ЭДС в контуре при его движении в постоянном
магнитном поле
v – скорость элемента контура dl и электронов
проводимости
Сторонняя сила – магнитная составляющая
силы Лоренца
dl
v
E* F e v B
E dl
*
(v B, dl ) (v dl , B)
dtd BdS ddt

16.

Электромагнитная индукция
Природа электромагнитной индукции
Возбуждение ЭДС в контуре в переменном магнитном поле
Сторонняя сила – электрическое (вихревое)
поле, поскольку магнитная составляющая силы
Лоренца отсутствует (контур покоится).
B
div E 0 – потенциальное электрическое поле
B
rot E
– вихревое электрическое поле
t
E dl rotE dS Bt dS
t
В общем случае
ddt

17.

Электромагнитная индукция
Природа электромагнитной индукции
О единой природе ЭДС индукции
KL
ЭДС индукции обусловлена магнитной
составляющей силы Лоренца
FB qv B
KP
ЭДС индукции обусловлена электрической
составляющей силы Лоренца
FE qE
Природа (причина) электромагнитной индукции во всех случаях одна –
взаимодействие электрических зарядов.

18.

Электромагнитная индукция
Явление самоиндукции
B
Явление самоиндукции – при изменении тока в контуре
возникает ЭДС (само)индукции в этом же контуре.
Так как
B I
LI
L – индуктивность контура (L > 0)
При изменении тока ЭДС самоиндукции
ddt L dIdt

19.

Электромагнитная индукция
Явление самоиндукции
Индуктивность соленоида
nI
B 0 nI
n
S
B
L
N
L
– плотность намотки
1 BS 0 nIS – поток через один виток
N 1
– полный поток
NBS nLBS 0n 2VI
L 0 n 2V

20.

Электромагнитная индукция
Взаимная индукция
B
i
Так как
Благодаря взаимной индукции контуры
электрически связанны между собой.
k
B I n
i Lik I k
k
Lik (i k )
– взаимная индуктивность контуров
(коэффициент взаимной индукции)
Теорема взаимности:
Lik Lki

21.

Электромагнитная индукция
Магнитная энергия токов
B
i
k
dA i I i dt
ddt
Работа не зависит от
последовательности
включения токов
Контуры неподвижны.
A – работа по возбуждению токов
(против ЭДС индукции)
dA I i d i
1
A I i i d
0
1
I i i
2
Примечание: при вычислении работы текущие значения токов
считались пропорциональными конечным значениям.

22.

Электромагнитная индукция
Магнитная энергия токов
Таким образом
Соленоид:
W
1
Ii i
2
W
1
A j dV
2
nlBS nBV
B 0 nI
W w dV ,
B2
w
2 0
......
I B2
W
V
2
2 0
w – объемная плотность
энергии магнитного поля

23.

Электромагнитная индукция
Энергетический метод определения сил
Система токов в вакууме (все сопротивления = 0)
а) Ф = const
F – (обобщенная) сила магнитного
взаимодействия
I1
F
d
I2
– (обобщенная) координата
dA F d – работа обобщенной силы
По закону сохранения энергии:
dA (dW )
W
F

24.

Электромагнитная индукция
Энергетический метод определения сил
б) I = const
dA F d – работа обобщенной силы
I1
F
d
dA I i d i – работа ЭДС индукции
I2
(dW ) I
1
Iid i
2 i
dA 2(dW ) I
По закону сохранения энергии:
dA dA (dW ) I
W
F
I

25.

Электромагнитная индукция
Энергетический метод определения сил
Пример: давление магнитного поля на стенку соленоида
p
W LI 2 2 2 2 L
L 0 n 2V
B
dA p dV
p
p
V
2
2
B2
2
L
2
LV
2 0
p
V
p p
LI 2
LI 2 B 2
2
2
V
2 0
I