Возбуждение волн внешним источником. Энергетические соотношения. (Лекция 8)

1.

Лекция 8.
Возбуждение волн внешним источником. Энергетические соотношения
1. Точное решение задачи в возбуждении в среде плоской гармонической волны
а. Общее решение
б. Предельные случаи
в. Резонансное возбуждение волн внешним источником
2. Метод медленных амплитуд
а. Уравнение для медленной амплитуды
б. Уравнение для медленной амплитуды в резонансном случае
3. Поглощение энергии внешнего источника в диссипативных средах
а. Общее выражение для диссипативных потерь энергии внешнего источника
б. Примеры диссипативных систем
4. Энергетические соотношения для волн в линейной электродинамике
сред с дисперсией
а. Уравнения для медленных амплитуд электромагнитных волн,
возбуждаемых внешним источником
б. Энергетические соотношения
в. Условия термодинамического равновесия
г. Примеры
д. Анизотропные среды
5. Импульс волн
а. Вычисление импульса волн в электродинамике
б. Вычисление импульса волн в общем случае

2.

D( ˆ , k ) A(t , k ) F (t , k )
n
D( , k ) m (k )
F (t , k ) F0 (k ) exp( i t )
m 1
t
t
0
0
A(t , k ) G ( , k ) F (t , k )d G (t , k ) F ( , k )d
exp[ i m (k )t ] exp( i t )
A(t , k ) F0 ( k )
~ (k )[ (k ) ]
D
m 1
m
m
n
Неустойчивая среда
Диссипативная среда
| m (k ) |
G (t , k )
~ (k )
D
m
1
1
exp( i t )d
2 C ( ) D( , k )
m m
D
(
k
)
(
k
)
m
s
n
s 1, s m
F0 ( k )
A(t , k ) t
exp[ m (k )t ] exp[ i m ( k )t ]
~
Dm (k )[ m (k ) ]
n
1
A(t , k ) t
F
(
k
)
0
~
exp( i t )
m 1 Dm (k )[ m (k ) ]
A(t , k ) F0 (k )
exp[ i m (k )t ] exp( i t )
~ (k )[ (k ) ]
D
m
m
1
Нет диссипации
m (k )
m (k )
Есть диссипация
| m | m
D( , k )
A(t , k ) iF0 (k )
t exp( i t )
1
D ( , k ) 1 exp m t
A(t , k ) iF0 (k )
exp( i t )
m

3.

~ (t , k ) exp( i t )
A(t , k ) A
~
dA
~
A
dt
~ (t , k ), i
ˆ A(t , k ) exp( i t ) ˆ M A
ˆM
~ (t , k )
d ~
D ( , k ) dA
~
D i , k A(t , k ) F0 (k )
D( , k ) A(t , k ) i
F0 (k )
dt
dt
D( , k ) D ( , k ) iD ( , k )
D ( , k )
D( i , k ) D ( , k ) i
iD ( , k ) 0
1
D ( m , k )
D ( , k )
m (k ) D ( m , k )
D ( , k )
D ( , k ) 0
0
1
~ (t , k )
dA
D ( , k )
~
m (k )
m (k ) A(t , k ) iF0 ( k )
dt
1
~ (t , k ) |2
dW
D ( , k )
~ (t , k ) F (k ) A
~ (t , k )]
W
|
A
2 m ( k )W i
[
F
(
k
)
A
0
0
dt
1
D ( , k )
~
~
Q (t , k ) i
[ F0 (k ) A(t , k ) F0 (k ) A (t , k )]
1
D
(
,
k
)
D ( , k )
~ (k ) F (k ) D( , k )
Q
(
k
)
2
| F0 ( k ) |2
A
0
2
2
[ D ( , k )] [ D ( , k )]
2
m (k )
2
D ( m , k )
Q (k )
| F0 (k ) |2
| m (k ) |
d
dt

4.

Q
e
2
|
F
|
0
( 2 S2 ) 2 e2 2
S Le2 k 2V 2e
Q
e 2
1
| F0 |2
2
2
2
2 S ( S ) ( e 2)
2
Le
1
2
2
2
Q
| F0 | , e 2
S Le
k 2c 2
2
2
2
2 S ( S ) ( 2)
S
2 2
i 2
1
k
rDe
2
2
2
Q0 Q( , k )d dk
Q
| F0 |
S i
2
2
2
2 2
2 S ( S ) ( i 2)
1 k rDe
1
j0 (k ) exp( i t ik r ) j 0 (k ) exp(i t ik r )
2
1
0 (k ) 1k j0 (k )
0 (t , r ) 0 (k ) exp( i t ik r ) 0 (k ) exp(i t ik r )
2
1 ~
~ (t , k ) exp(i t ik r )
E(t , r ) E
(t , k ) exp( i t ik r ) E
2
1
~ (t , k ) j (k ) E
~ (t , k )
Q(t , k ) j0 (t , r ) E(t , r ) j0 (k ) E
0
4
i kˆ D(t , r ) 4 0 (t , r ) ,
D(t , r ) l ( ˆ , kˆ )E l (t , r ) tr ( ˆ , kˆ )E tr (t , r )
2
kˆ [kˆ E(t , r)] ˆ2 D(t , r) 4 2 i ˆ j0 (t , r)
c
c
j0 (t , r )
~ (t , k ) 4 jl (k ) ,
i ˆ M l ( ˆ M , k )E
l
0
tr
k 2c 2 ~
i ˆ M ( ˆ M , k ) 2 E tr (t , r ) 4 jtr0 (k ) .
ˆ M

5.

~ (t , k )
dE
~
l
i ( , k )El (t , k )
[ ( , k )] l
4 jl0 (k )
dt
2 2
2 2 ~
tr
tr
k
c
k
~
( , k ) c2 dEtr (t , r ) 4 jtr0 (k )
i ( , k ) 2 E tr (t , r )
dt
l
D( , k ) D l ( , k ) l ( , k ) 0
tr
k 2c 2
D( , k ) D ( , k ) ( , k ) 2 0
tr
~ (t , k )
D( , k ) dA
~
D( , k ) A(t , k ) i
F0 (k )
dt
1
dWl
2 [Im l ( , k )]
[ Re l ( , k )] Wl Ql (t , k )
dt
1
2 2
dWtr
k
c
tr
tr
2 [Im ( , k )]
Re ( , k ) 2 Wtr Qtr (t , k )
dt
~ (t , k ) |2
|
E
Wl (t , k )
[ Re l ( , k )] l
16
2 2 ~
k
c | Etr (t , k ) |2
tr
Wtr (t , k )
Re ( , k ) 2
16
| E~l (k ) |2
| E~tr (k ) |2
Установившийся
l
tr
[Im ( , k )]
Ql (k ), [Im ( , k )]
Qtr (k )
режим
8
8

6.

Im l ( , k ) 0, Im tr ( , k ) 0
k 2 c 2
l
tr
[ Re ( , k )] 0 ,
Re ( , k ) 2 0
2
l tr 1 Le
2
2
| E~l (t , k ) |2 Le
| E~l (t , k ) |2
Wl (t , k )
2
16
16
| E~l (t , k ) |2
| E~tr (t , k ) |2
Wl (t , k )
, Wtr (t , k )
.
2
k 2 c 2 | E~tr (t , k ) |2 Le
8
8
| E~tr (t , k ) |2
Wtr (t , k ) 1 2
2
16
16
l 1 Li2 2 Le2 k 2V 2e
2
| E~l (t , k ) |2 Li2 | E~l (t , k ) |2
Le
| E~l (t , k ) |2
Wl (t , k )
2
2 2
16
16
k V e
16
~ (t , k ) |2
2
| E
Le
Wl (t , k ) 1 2 2 l
k V e
8
dW (t , k )
i
[ ij ( , k ) ji ( , k )]E~i (t , k ) E~ j (t , k ) Q (t , k )
dt
16
(k 2 ij ki k j )c 2 ~
1
Ei (t , k ) E~ j (t , k )
W (t , k )
ij ( , k )
2
16
1
W
8
k 2c 2
1
2 g A2
A2 , A2 | E~x |2 | E~y |2
4
(E D B 2 ) 8

7.

~ (t , k ) 4 (k )
i l ( ˆ M , k ) k E
l
0
1
~ (t , k ) (k ) E
~ (t , k ) dPl (t , k )
0 (k ) E
0
4
dt
l ( , k ) d
~
~ (t , k ) 4 (k )
l
i ( , k )k El (t , k )
k E
l
0
dt
Π (t , k ) 0 (t , r ) E(t , r )
| El (t , k ) |2
d
l
l
2
[Re ( , k )]
k
2k Im ( , k )] | El (t , k ) | Π (t , k )
dt
16
| El (t , k ) |2 k
k
l
Pl (t , k )
[ Re ( , k )]
Wl (t , k )
16
r (t ) ut r0
exp( i t ik r ) r r ( t ) ~ exp[ i ( k u)t ]
WСр. WТ . Const , PСр. PТ . Const
WСр. W , PСр. P, WТ . mu u, PТ . m u
W mu u 0, P m u 0.
k W (k u) P
P
W (k )
k
W
(k )
P k
k u 0