Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 10

1. ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 10
2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2.

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.11. Сопряженные конусы.

3.

2.11. Сопряженные конусы. Пусть
Определение 16. Множество
U Ì Rn .
{
U * = u* Î Rn
называется сопряженным к множеству
u , u * ³ 0, " u Î U
}
U.
Пример 14. Построить сопряженные множества к конусам
1)
K1 = { u Î R n
a, u = 0} ;
3)
2)
K2 = { u Î Rn
a, u £ 0} ;
K 4 = { u Î R n u ³ 0} .
Решение.
1)
K1 = { u Î R n
a, u = 0} Þ
K1* = { u * Î R n u * = l a, l Î R1 }
Действительно,
u * , u = l a, u = l
2)
K2 = { u Î Rn
uÎ K1 Þ a ,u =0
a, u
=0
a, u £ 0} Þ K 2* = { u * Î R n u * =- l a, l ³ 0} .
Действительно,
u * , u = - l a, u = - l
u Î K 3 Þ a ,u £ 0
a, u
³ 0

4.

4)
{
Действительно,
³0
*
uÎ K 4 Þ
u³ 0
u , u
³ 0.
Упражнение 1.
Построить сопряженное множество к множеству
Решение.
U*
2
2
}
*
*
n
*
K 4 = { u Î R n u ³ 0} Þ K 4 = u Î R u ³ 0 .
u*
u
2
2
ìïæ
U = íç
ç
ïîè
ö üï
÷ý.
2 ÷
2 øï
þ
2
2
1* ö
ìï æ
ü
ïï
u
*
÷
2 1*
2 2*
ï
ç
÷ 2 u + 2 u ³ 0,ý =
U =í ç
2* ÷
ç
÷
ïï ç
ïï
î èu ø
þ
1* ö
ìï æ
ü
ïï
u
1
*
2
*
÷
ï
ç
÷ u + u ³ 0,ý.
=í ç
2* ÷
ç
÷
ïï ç
ïï
î èu ø
þ

5.

Следующая теорема устанавливает, что сопряженное множество к множеству
U Ì Rn
является выпуклым замкнутым конусом и, что этот факт не зависит от свойств множества
U.
Теорема 22. Пусть
{
U * = u* Î R n
Доказательство.
U Ì Rn .
Тогда множество
}
U*
u , u * ³ 0, u Î U является выпуклым замкнутым конусом.
*
*
Пусть u U и l > 0. Тогда для всех u U имеем
³0
*
*
*
l
u
U
.
lu , u = l u , u ³ 0 Þ
*
*
*
*
Отсюда следует, что U - конус. Аналогично, для u , v U , l [ 0,1]
*
u U
справедливо неравенство
U*
³0
*
lu + ( 1 - l ) v , u = l u , u + ( 1 - l ) v , u ³ 0 Þ
lu * + ( 1 - l ) v* U * .
*
и
³0
*
и
*
выпуклое множество.
установить,
множеству.
Для доказательства его замкнутости достаточно
что любая предельная точка
Пусть
{u } ®u ,u
*
k
*
0
*
k
u 0* множества U * принадлежит самому
U * , k = 1, 2,L

6.

Тогда для всех
u U
k = 1,2,
и
Переходя в нем к пределу при
lim u, u
u0* U * .
Теорема доказана.
= u, lim uk* = u , u0* ³ 0,
k ®¥
Замечание. Имеет место вложение
из определения
U
*
следует, что
Последнее означает, что
u, uk* ³ 0.
получим
*
k
k ®¥
что и означает
k ® ¥,
справедливо неравенство
u U ** .
U ÌU
**
= (U
)
* *
.
Действительно,
*
*
u , u * ³ 0 для всех u Î U и u Î U .