Обратная матрица. Ранг матрицы

1.

Тема 4. «Обратная матрица. Ранг матрицы.»
Основные понятия:
1. Определение обратной матрицы
2. Способы нахождения обратной матрицы
3. Ранг матрицы, способы нахождения ранга
матрицы

2.

1. Определение обратной матрицы
Необходимо: матрица должна быть квадратной.
A 1 называется обратной по отношению к
матрице А, если A A 1 A 1 A E
Матрица
Теорема. Для невырожденной матрицы А существует
1
A
единственная обратная матрица

3.

2. Способы нахождения обратной матрицы
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
1)
Вычисление определителя матрицы А,
2)
Построение матрицы алгебраических дополнений Aij
(присоединенная матрица)
3)
4)
Нахождение
A
T
ij
Нахождение обратной матрицы
T
1
A Aij
1

4.

Обращение матрицы можно осуществить
по следующему правилу.
1. Вычислить определитель исходной матрицы
Δ = det A.
2. Сформировать матрицу из алгебраических
дополнений всех элементов исходной матрицы
Aij ( 1)i j M ij .
3. Транспонировать матрицу алгебраических
дополнений, что дает присоединенную матрицу
по отношению к исходной матрице A.
4. Каждый элемент присоединенной матрицы
разделить на определитель исходной матрицы Δ.

5.

Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
2
4
A
1 4
и доказать, что она обратная.
Решение
1. det A 2 4 1 4 4
2.
3.
4.
4 4
1 2
4 1
4 2
– определитель.
– матрица из алгебраических
дополнений.
– транспонированная матрица
из алгебраических дополнений.
1 4 4
1
1
0.25 0.5
4 1 2
– обратная матрица.

6.

Доказательство: Если A-1 – обратная матрица,
то справедливо выражение AA-1 = E.
2 4
1
1 2 1 4 0.25 2 1 4 0.5 1 0
1 4 0.25 0.5 1 1 4 0.25 1 1 4 0.5 0 1

7. Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной
квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица,
которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами

8. Действия над матрицами

0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2
T
A 2
A 3 4 строки
2 вычтем
строку
1 1 первую
0
-4
2 -1
Разложим
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
0
A
2
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.5
11) 1 62 1
12 101 (21
31 22
A
(
1
)
6
3 2
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6

9.

Алгоритм нахождения обратной матрицы (Метод Гаусса):
1)
К матрице А справа приписывается Е,
2)
Проделывая преобразования над строками расширенной
матрицей (А|Е), матрицу А приводят к Е,
3)
Справа на месте приписанной матрицы Е будет
получена обратная матрица.
Примеры. Найдем обратные матрицы к матрицам
2 4
,
1 2
1 2 4
0 2 4
3 1 2

10. 3. Ранг матрицы

11. Ранг матрицы (1)

Рассмотрим матрицу
a11
a 21
A
....
a
m1
a12
a 22
....
am2
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a mn
....
Минором к – го порядка матрицы А
называется определитель к – го порядка
с элементами, стоящими на пересечении
любых к строк и к столбцов.
(k min m, n )

12. Ранг матрицы (2)

Рангом матрицы r(A)
называется наибольший
из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля.

13. Элементарные преобразования матриц

Элементарные
преобразования матриц
Вычеркивание
нулевой строки
Прибавление к
одной из строк другой
строки, умноженной
на любое число
Перестановка
двух строк

14. Элементарные преобразования матриц (1)

Теорема 1.
Любую матрицу с помощью
элементарных преобразований
можно привести к
ступенчатому виду.

15. Элементарные преобразования матриц (2)

Теорема 2.
При элементарных
преобразованиях ранг
матрицы не меняется.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу
(ненулевых) строк.

16. Пример 6 (1)

Найти ранг матрицы:
1 -3 -1
A= 2 1 4 .
3 -2 3

17. Пример 6 (2)

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←

18. Пример 6 (3)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3

19. Пример 6 (4)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←

20. Пример 6 (5)

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
0 7 6

21. Пример 6 (6)

Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
↓
0 0 0
←

22. Пример 6 (7)

Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
0
7
6
↓
0 0 0
←
r(A)=2

23.

3. Ранг матрицы, способы нахождения ранга матрицы
Рангом матрицы называют наибольший из порядков ее
миноров, отличных от нуля (обозначается r).
Способ нахождения ранга матрицы (по свойству миноров):
Свойство миноров. Если все миноры порядка k данной
матрицы равны нулю, то все миноры более высокого
порядка также равны нулю.
Следовательно, если среди миноров порядка k данной
матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка
(k+1) равны нулю или не существуют, ранг матрицы
равен k.

24.

Способ нахождения ранга матрицы (сведение матрицы к
квазитреугольной форме).
Пример. Найти ранг матрицы
6
9
3
0
0 2 1 3
5 7 6 6
,
0 1 2 1
5 4 3 2
r 3