Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

1.

Практическое занятие № 11
Решение дифференциальных
уравнений с разделяющимися
переменными

2.

Дифференциальным уравнением (ДУ)
называется уравнение, содержащее производные
от искомой функции или её дифференциалы.
Решением ДУ является - функция
- Общие
Решения ДУ бывают:
- Частные
Задача Коши - Найти частное решение
- с разделёнными переменными
Виды ДУ
- с разделяющимися переменными

3.

4.

y x
y x 1
y 1 0
0 x x
y sin x
y x sin x
y 2 cos x
y (sin x )
y ( x sin x )
y (2 cos x )
cos x
y (cos x )
1 cos x
y (1 cos x )
2 sin x
y ( 2 sin x )
sin x
sin x
2 cos x
sin x sin x x sin x x sin x x 2 cos x 2 cos x x

5.

ДУ с разделёнными переменными
y dy 5x dx
y ( 2) 1
y dy 5 x dx
x 2
3
4
3
4
y 1
y4
5x 5
C
4
5
y4
( x 5 C) 4
4
14 4 2 5 C
1 128 C
y 4 x C
y 4x 129
4
5
Общее решение
C 129
4
5
Частное решение

6.

ДУ с разделяющимися переменными
( y 1)dx ( x 1)dy
( x 1)dy ( y 1)dx
dy
dx
y 1 x 1
dy
dx
y 1 x 1
ln y 1 ln x 1 C
ln y 1 ln x 1 ln C
ln y 1 ln x 1 C
y 1 ( x 1) C
y ( x 1) C 1
Общее решение
dx
x ln x C
y 3 x 3
3 (3 1) C 1
C 2
y ( x 1) 2 1
y 2x 3
Частное решение

7.

ДУ с разделяющимися переменными
( x 3)dy ( y 2)dx
dy
dx
y 2 x 3
dy
dx
y 2 x 3
ln y 2 ln x 3 C
ln y 2 ln x 3 ln C
ln y 2 ln x 3 C
dx
x ln x C
y 2 ( x 3) C
y ( x 3) C 2
Общее решение

8.

ДУ с разделяющимися переменными
y 3 cos x
y 3 cos xdx
y 3 sin x C
Общее решение
sin xdx cos x
cos xdx sin x
y(0) 1
x 0 y 1
1 3sin 0 C
C 1
y 3 sin x 1
Частное решение

9.

ДУ с разделяющимися переменными
1 y y xy 0
dy
dy
1
y x
0 dx
dx
dx
dx dy ydx xdy 0
dx y 1 dy x 1 0
dy
dx
y 1
x 1
dy
dx
y 1 x 1
ln y 1 ln x 1 C
ln y 1 ln C ln x 1
C
y 1
x 1
C
y
1 общее решение
x 1

10.

ДУ с разделяющимися переменными
C
y
1 общее решение
x 1
С
С
5 1 6 С 12
2
2
12
y
1 частное решение (гипербола )
x 1

11.

Самостоятельно выполните задания Пр 11,
которые находятся в группе
«291 СВ математика» в VK:
https://vk.com/club202706316
или
«293 СВ математика» в VK:
https://vk.com/club202706340