Преобразования координат на плоскости
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Пример
Ещё пример
Поворот
Поворот
Отражение
Отражение
Результирующая матрица
Результирующие координаты
Преобразование единичного квадрата
Ещё один пример
Масштабирование
Матрицы преобразований
30.24M
Категория: МатематикаМатематика

Преобразования координат на плоскости

1. Преобразования координат на плоскости

2. Пример

Рассмотрим прямую y=0.5(x+4) и
треугольник АВС, где А(2,4,1), В(4,6,1),
С(2,6,1). Найти координаты треугольника,
симметричного заданному относительно
данной прямой.
Роджерс, Адамс. С.76-105 (С.101-105)

3.

4.

Матрица перемещени я
Переместим прямую до совпадения с началом координат
1 0 0
S 0 1 0
0 2 1
x
*
y * 1 x
x* x
y* y 2
1 0 0
y 1 0 1 0
0 2 1

5.

Матрица поворота
cosα sin α 0
V - sin α cosα 0 , против часовой стрелки
0
0
1
cosα - sin α 0
V sin α cosα 0 , по часовой стрелки
0
0
1
1
2
arctg 26.57
2 / 5 1/ 5 0
**
**
*
*
x y 1 x y 1 1/ 5 2 / 5 0
0
0
1
2 * 1 * **
1 * 2 *
**
x
x
y ,y
x
y
5
5
5
5

6.

Матрица отражения относительно оси Х
1 0 0
R 0 -1 0
0 0 1
x
***
y
x x
***
y
***
***
**
y
**
1 x
**
y
**
1 0 0
1 0 - 1 0
0 0 1

7.

Обратные матрицы
2 / 5 1/ 5 0
V 1 1 / 5 2 / 5 0
0
0
1
1 0 0
1
S 0 1 0
0 2 1
Результирующая матрица
4 / 5 0
3/ 5
1
1
T S V R V S 4 / 5 3 / 5 0
8 / 5 16 / 5 1

8.

Результирующие координаты
4 / 5 0
14 / 5 12 / 5 1 2 4 1 3 / 5
28 / 5 14 / 5 1 4 6 1 4 / 5 3 / 5 0
22 / 5 6 / 5 1 2 6 1 8 / 5 16 / 5 1

9. Пример

y 0.5( x 4)
Пример
A 2,4 , B 4,6 , C 2,6
k 0.5
y k x b
k k 1 k 1 / k 2
y 2 x b
4 2 2 b b 8
y 2 x 8

10. Пример

y 0.5 x 4
y 2 x 8
0.5 x 4 2 x 8 2.5 x 6 x 12 / 5, y 16 / 5
A 2,4
A 12 / 5,16 / 5
A x , y
12 / 5 0.5 2 x
x 14 / 5, y 12 / 5
16 / 5 0.5 4 y

11. Пример

y 0.5( x 4)
Пример
A 2,4 , B 4,6 , C 2,6
k 0.5
y k x b
k k 1 k 1 / k 2
y 2 x b
6 2 4 b b 14
y 2 x 14

12. Пример

y 0.5 x 4
y 2 x 14
0.5 x 4 2 x 14 2.5 x 12 x 24 / 5, y 22 / 5
B 4,6
B 24 / 5,22 / 5
B x , y
24 / 5 0.5 4 x
x 28 / 5, y 14 / 5
22 / 5 0.5 6 y

13. Пример

y 0.5( x 4)
Пример
A 2,4 , B 4,6 , C 2,6
k 0.5
y k x b
k k 1 k 1 / k 2
y 2 x b
6 2 2 b b 10
y 2 x 10

14. Пример

y 0.5 x 4
y 2 x 10
0.5 x 4 2 x 10 2.5 x 8 x 16 / 5, y 18 / 5
С 2,6
С 16 / 5,18 / 5
С x , y
16 / 5 0.5 2 x
x 22 / 5, y 6 / 5
18 / 5 0.5 6 y

15. Ещё пример

Дан треугольник АВС, А(2,2), В(4,2),
С(4,4). Найти координаты треугольника,
полученного из исходного треугольника в
результате следующих преобразований:
1.Поворот на +90 градусов относительно
точки начала координат
2. Отражение относительно линии y=-x

16. Поворот

Старые координаты x r cos , y r sin
Новые координаты
x1 r cos , y1 r sin
x1 r cos cos sin sin , y1 r cos sin sin cos
x1 x cos y sin , y1 x sin y cos
cos
Матрица поворотаV
sin
sin
, x1
cos
y1 x
y V

17. Поворот

Старые координаты x r cos , y r sin
Новые координаты
x1 r cos , y1 r sin
x1 r cos cos sin sin , y1 r sin cos cos sin
x1 x cos y sin , y1 y cos x sin
cos
Матрица поворотаV
sin
sin
, x1
cos
y1 x
y V

18. Отражение

x 0
1 0
R
0 1
x1 y1 x y R
x1 x, y1 y
y 0
1 0
R
0 1
x1 y1 x y R
x1 x, y1 y

19. Отражение

y x
0 1
R
1 0
x1 y1 x
y R
x1 y, y1 x
y x
0 1
R
1 0
x1 y1 x y R
x1 y, y1 x

20. Результирующая матрица

0 1
0 1
, R
V
1 0
1 0
1 0
T V R
0 1
1 0
T1 R V
0 1

21.

22. Результирующие координаты

2 2
y1 2 2
y2 4 2 T 4 2
y3 4 4
4
4
1 0
T
0 1
x1
x2
x
3
2 2
y1 2 2
y2 4 2 T1 4 2
y3 4 4
4
4
1 0
T1
0 1
x1
x2
x
3

23. Преобразование единичного квадрата

0
1
1
0
0
0
0
0 a b a
b
1 c d a c b d
1
d
c
a b
ab cd c
b
Ap a c b d
b b d c a c ad bc
c d
2
2 2
2
Ap As ad bc As
a
b
c
d

24.

25. Ещё один пример

ABC , A 1,0 , B 0,1 , C 1,0
3 2
T
1 2
A B C
1
S ABC 2 1 1, S A B C S ABC ad bc 8
2
2
1 0
3
3 2
1 2
0 1
1 0 1 2 3 2
1
S A B C 4 4 8
2

26.

27. Масштабирование

a b
T
c d
a d , b c 0 пропорциональное
a d 1 растяжение
a d 1 сжатие
a d , b c 0 непропорциональное

28.

29. Матрицы преобразований

2 0
T1
0 2
1 / 2 0
T2
0 3
ABC , A 4,2 , B 4,4 , C 2,4
4 2
8 4
2 0
4 4
8 8
0 2
2
4
4
8
4 2
2 6
1 / 2 0
4 4
2 12
0 3
2
4
1
12

30.

31.

2 0
T1
0 2
ABC , A 1, 1 , B 2, 1 , C 1,2
1 1
2 2
2 0
2 1
4 2
0 2
1
2
2
4
English     Русский Правила