Трёхмерные преобразования. Нахождение проекций сцены

1. Трёхмерные преобразования. Нахождение проекций сцены

2. 7. Трёхмерные преобразования

Элементарные
преобразования
элементарные
совмещённые
сдвиг
поворот
масштаби
рование
X
Y
Z

3. Сдвиг

• Сдвиг
(x, y, z) – старые координаты
(x’, y’, z’) – новые координаты.
Tx, Ty, Tz – константы сдвига вдоль осей x, y, z
x’ = x + Tx
y’ = y + Ty
z’ = z + Tz
[ x' y ' z 1] [ x y z 1] [T ]
1 0 0 0
[T ] 0 1 0 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1

4. Масштабирование

• Масштабирование
(x, y, z) – старые координаты
(x’, y’, z’) – новые координаты.
Sx, Sy, Sz – коэффициенты масштабирования.
x’ = x * Sx
y’ = y * Sy
z’ = z * Sz
[ x' y ' z 1] [ x y z 1] [ S ]
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
[S ]
0 0 Sz 0
0 0 0 1

5. Повороты

• Повороты
[ x' y ' z 1] [ x y z 1] [ R...]
0
0
0
1
0 cos( ) sin( ) 0
[ Rx]
0 sin( ) cos( ) 0
0
0
0
1
cos( ) 0 sin( ) 0
0
1
0
0
R[ y ]
sin( ) 0 cos( ) 0
0
0
0
1
cos( ) sin( ) 0 0
sin( ) cos( ) 0 0
R[ z ]
0
0
1 0
0
0
0
1

6. Обладают ли повороты свойством коммутативности?

Rx Ry
Ry Rx
Ry90 Rx90 точка A’
Rx90 Ry90 точка A’’

7. Поворот некоторого тела вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол γ

• Поворачивать ось до совпадения с координатной
осью
• Поворот на угол γ
• Возврат назад (поворот)
x
z
Rz Rx Ry R R

8. Поворот некоторого тела вокруг оси, не проходящей через начало координат, на угол γ

d
x
z
T Rz Rx Ry R R T
d

9. 8. Способы задания трёхмерных объектов

• Сценой называется совокупность трёхмерных
объектов
• Точкой зрения называется точка, из которой эта
сцена наблюдается (x0, y0, z0)
• Наблюдатель – тот, который наблюдает сцену
• Ось зрения или ось наблюдения проходит через
точку зрения и начало координат

10.

• Рёберная (скелетная, проволочная) сцена
– задаётся множеством точек и множеством
соединяющих их рёбер
• Граневая сцена
– задаётся множеством граней
Грань задаётся перечислением в определённом
порядке вершин
или плоскостями, несущими грань (для выпуклых
тел)
Задача проецирования – задача нахождения
двумерной проекции сцены

11.

9. Нахождение проекций сцены
Проекция называетсяпроекция
плоской, если сцена
проецируется на плоскость.
Проекцияплоская
называется не плоской,
если сцена
не плоская
проецируется на поверхность, отличную от
плоскости (например, шар)

12.

проекция
Проектор – линия, соединяющая точку зрения и
проецируемую
геометрическая точку.
не геометрическая
Проекция называется геометрической, если
проектором является прямая.
Проекция называется не геометрической, если
проектором является линия, отличная от прямой
(например, парабола)

13.

проекция
прямоугольная
Плоскость,
на которую осуществляется
проекция,
не прямоугольная
(ортографическая)
(косоугольная)
называется
картинной.
Проекция называется прямоугольной, если угол
между осью зрения и картинной плоскостью –
90о.
В противном случае проекция называется
называется не прямоугольной.

14.

проекция
параллельная
перспективная
Проекция
называется
перспективной,другая если
(аксонометрическая)
(центральная)
проектор проходит через точку зрения и
проецируемую точку (т.е. так, как видит глаз
человека).
Проекция называется параллельной, если все
проекторы параллельны друг другу и оси зрения
(наблюдатель находится бесконечно далеко).
В нашем курсе мы будем иметь дело с плоскими,
геометрическими, прямоугольными, перспективными (или параллельными) проекциями.

15.

параллельная
(аксонометрическая)
Триметрия,
диметрия,
изометрия
–
виды
параллельной
проекции,
различающиеся
триметрия
изометрия
диметрия
количеством
различных
коэффициентов
искажения (триметрия – все три коэффициента не
равны
между
собой,
диметрия
–
два
коэффициента искажения равны между собой и
отличаются от третьего, изометрия – все три
коэффициента искажения равны между собой).

16. Системы координат

• СКМ – система координат мировая (правая)
• СКН – система координат наблюдателя
1. начало СКН в точке зрения
2. ось zн лежит на оси зрения и
направлена в начало СКМ
3. СКН – левая
4. ось yн имеет тенденцию вверх

17.

• ось zн -- вперед
• голова – ось yн
• ось xн – правая рука

18. Этапы нахождения проекций сцены

1. СКМ –> СКН
2. СКН –> СКК
проецирование
a) проходит через начало СКМ
b) перпендикулярна оси
зрения
c) xк || xн, yк || yн
3. СКК –> СКЭи
4. СКЭи –> СКЭф
отсечение + кадрирование
рисование

19. СКМ –> СКН

СКМ –> СКН
1. Сдвиг
2. Смена ориентации
системы

20.

3. Меняем направление оси OY (поворот вокруг оси
OX2 на 90°)

21.

4. Направляем ось OZ3 так, чтобы она пересекла ось OZ
(поворот вокруг оси OY3 на угол u)
d = 0 => u = 0

22.

5. Поворачиваем ось OZ4 так, чтобы она смотрела в начало
координат
s = 0 => w = 0

23. Результирующая матрица перехода СКМ –> СКН

Результирующая матрица перехода
СКМ –> СКН
СКН
СКМ
[xн yн zн 1] = [x y z 1] [V]

24. СКН –> СКК

СКН –> СКК
• Rk – расстояние до картинной плоскости

25. СКК –> СКЭ

СКК –> СКЭ
const
const
[S]
[T]