Логарифмы, свойства логарифмов

1. Понятие логарифма, свойства логарифмов.

2.

2x 4
x 2
y 2x
2 x 0,5 x 1
2x 3
x log 2 3
?

3.

Определение.
Логарифмом числа b (b > 0)
по основанию a (a 0, a 1)
называется показатель степени,
в которую надо возвести a , чтобы
получить число b.
Обозначение :
log a b
log a b t a b
t

4.

Основное логарифмическое тождество
a
loga b
b
Логарифм с основанием 10 называется
десятичным и обозначается lg b
Логарифм с основанием е называется
натуральным и обозначается ln b
1 n
e lim (1 ) lim (1 x)
n
n
x 0
e 2,71828.......
1
x

5.

Функция
1)
2)
3)
4)
5)
45°
y ex
6)
D(f) = R
Не является ни четной, ни нечетной (общего вида)
Возрастает на R
Не ограничена сверху, ограничена снизу: f(x) > 0
Наибольшего значения не имеет, наименьшего значения не
имеет
Непрерывна
7)
8)
9)
10)
Е(f) = (0; +∞)
Выпукла вниз на R
Дифференцируема в любой точке
Горизонтальная асимптота у = 0
Угол между касательной к графику
в точке х = 0 и осью абсцисс равен 45°
(e x ) | x 0 tg 45 1
ex 1
lim
1
x 0
x

6.

log a a 1 (a 0, a 1)
log a 1 0
1
log a 1
a
lg 10 1
ln e 1
lg 1 0
ln 1 0

7. Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения двух положительных
чисел равен сумме логарифмов этих чисел
log a bc log a b log a c (a 0, a 1, b 0, c 0)
2. Логарифм частного двух положительных чисел
равен разности логарифмов делимого и
делителя
b
log a log a b log a c (a 0, a 1, b 0, c 0)
с

8.

3. Логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени (показатель
степени можно вынести за знак логарифма)
log a b k k log a b (a 0, a 1, b 0, k R)
4. Если основанием логарифма является степень с
показателем k, то его можно вынести за знак логарифма
как 1/ k
1
log a k b log a b (a 0, a 1, b 0, k 0)
k
5. Значение логарифма не изменится, если основание
логарифма и логарифмируемое число возвести в одну и ту же
степень
log ak bk log a b (a 0, a 1, b 0, k 0)

9. Формулы перехода к новому основанию

1. Если a 0, a 1, b 0, с 0, c 1
то имеет место равенство
log c b
log a b
log c a
a 0, a 1, b 0, b 1
2. Если
то имеет место равенство
1
log a b
log b a

10. Обобщение свойств логарифмов

1. log a bc log a b log a c
b
2. log a log a b log a c
с
3. log a b2k 2k log a b
4. log a 2 k
(a 0, a 1, bc 0)
b
(a 0, a 1, 0)
c
(a 0, a 1, b 0, k Z )
1
b
log a b (a 0, a 1, b 0, k Z )
2k

11. Производные показательной и логарифмической функций

1.
2.
e e
a a
x
x
x
x
ln a (a 0)
1
3. ln x
( x 0)
x
1
4. log a x
(a 0, a 1, x 0)
x ln a

12. Дополнительные замечания о десятичных логарифмах

a a0 10 n 1 a0 10, n Z
(стандартный вид числа a)
lg a lg a0 10 n lg a0 lg 10 n lg a0 n lg 10 n lg a0
n целое число, 0 lg a0 1
n – целая часть числа lg a ,
lg a0 – дробная часть числа lg a
Целую часть числа lg a называют характеристикой
десятичного логарифма, а дробную часть числа lg a
называют мантиссой десятичного логарифма

13. Дополнительные свойства логарифмов

Дополнительные
1. a logb c c logb a
2. a
loga b
b
свойства логарифмов
(a 0, b 0, b 1, c 0)
logb a
(a 0, b 0, a 1, b 1, log a b 0)