Сходимость последовательностей. Вычисление пределов

1.

Сходимость последовательностей
Вычисление пределов

2.

Повторение вычисления пределов
Доказать, что :
2n 3
lim
2
n 3 n

3.

Доказать, что
n 1
lim
n n 1
2

4.

Вычислить пределы:

5.

6.

2
2
3
3
3
3
n n 5 n n n 5 n 5 n n
n3 n3 5 n n
lim
lim
2
n
n
2
3
3
3
3
n n n 5 n 5
n 2 n 3 n3 5 n3 5
lim
n
3
3
5n
3
2
5
5
n 2 1 1 3 1 3
n n
1
3
2
3
lim
n
5
1
2
n 1 1 1
0
2
3

7.

8.

9.

n 1
n 1
3
lim
n 2 n 3n
2
0, q 1
2
n
пояснение : lim q 1, q 1 ; q 1
n
3
, q 1
n 1
3
2
n 1 2
n
3 1
3 3 1
3
3
lim
3
lim
n
n
n
n
2
n 2
n
3 1
3 1
3
3

10.

11.

пояснение : n 4 ! 1 2 3 .... n n 1 n 2 n 3 n 4 n 3 ! n 4
n 2 ! n 3 n 4 ;
lim
(n 4)! (n 2)!
lim
n
n 3 !
n 4 ! 1
1
(n 3)! n 4 1
n
3
n
4
n
3
n
4
lim
n 3 !
n 3 !
1
1
(n 4) 1
n
3
n
4
lim n 4 .
lim
n
n
1

12.

3n 1 ! 1 2 ... 3n 1 3n 3n 1 3n ! 3n 1 3n 1 ! 3n 3n 1
1
3n 1 !
1
(3n 1)! 3n 1 !
1
3n 3n 1 lim 3n 1
lim
lim
1
3n ! n 1
3n ! n 1
n 1 3n 3n 1
1
3n 1
n 3
lim
lim
1
n 1
1
n
3

13.

1
(n 2)!
1
n 1 n 2
n! n 2 !
lim
lim
1
n n 1 ! n 2 !
1
n 2 !
1
n n 1 n 2
2n 1 ! 2n 2 !
lim
0
n 2n 3 ! 2n 2 !

14.

Пример из домашнего задания :
lim n n n 2 n 3 lim n n n 2 n 3
n
lim n
n
2
n n 2 n 2 3
n 2 2n n 2 3
n
lim
n
n 3 2n
n 2 2n n 2 3
2
lim
n
n
n n 2 n 2 3
n n 2 n 3
3
n2 2
n
2
3
1 1 2
n
n
2
lim n
n
2
1 1

15.

Бесконечно малые последовательности :
n
1
1
2
lim an 0 : xn ; yn k ; zn ;....
n
n
n
3
Свойства бесконечно малых:
1. Сумма бесконечно малых является бесконечно малой
2. Произведение бесконечно малых является бесконечно
малой.
3. Произведение ограниченной на бесконечно малую есть
бесконечно малая.
4. Если
0, {xn } имеет бОльший порядок малости
x
lim n А ; посл ти имеют одинак. порядок малости
yn
, { yn } имеет бОльший порядок малости

16.

Примеры :
2
3n 1
1) xn ; yn 3 : lim xn lim yn 0 посл ти бесконечно малые;
n
n
2
xn
2n 3
2n1
n
lim
lim
lim
lim
{ yn } имеет бОльший порядок малости
n n 3n 1
n
1
yn n 3n 1
3
n3
n
по сравнению с {xn } больше на 1 .
2) произведение ограниченной на б / к малую :
1
; yn cos n : lim cos n не существует; но посл ть {cos n} ограничена : | cos n | 1 n
n
n
2
cos n
1
cos n
lim xn yn ? : 0
0
,
n
lim
0
n
n 2 n
2n
2n
xn

17.

5
n
10) lim
12
n
5
n 3 2n
6
6
5
4n150 8 sin n
1
3
n 1 6 12 2
n n
lim
n
sin n
30
n 5 4 8 150
n
30
5
1
3
1 6 12 2
n
n
lim
n
sin n
5 4 8
150
n
1 2
5
5
4
1
5 ;
4

18.

12) lim
n
2n 5 2 7 3n
n sin n 9n n
2
6
5
3
n 2
n
lim
n
3 sin n
n
n
13) lim
n
n
2
lim
n
n sin n 9n n
2
6
3
2
2
n
3 4
9
1
9 5
n
5n 6 3 1 4n 2
4
2n 5 2 7 3n
1 cos n n 3n 9
15
3
6
3 2
n 5
n
3
9
1
4
n
2
53 4
lim
3
2000;
4
n
1
3
9
5 n 1 cos n
3
n
1 6 15
4
n n
n
n
2

19.

3
14) lim
n
lim
n
3
n 4 3n 3 1 3 n 4 1
3
n 2
2
3
1
3
1
3
2
3
n 3n 1 n 1 n 3n 1 n 3n 1 n 1 n 1
2
1
1
2
3
n 2
n 4 3n 3 1 3 n 4 3n 3 1 3 n 4 1 3 n 4 1 3
4
3
3
4
4
3
4
3
4
4
n 4 3n 3 1 n 4 1
lim
8
3
1
3
1
1
1
2
n 1 n 3 1 4 1 4 1 4 1 4
n
n n n n n n
3n 3
3
lim
1
1
2
1
1
2
n
1
1
1
1
1 3
1 3
2 3 3 1 3 3 1 3
n 3 1 1 4 1 4 1 4 1 4
n n n n n n n
n
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3

20.

2 5n 3
n
2
7
5n 3
2 7 ... 5n 3
2
lim
15) lim
...
lim
4
n
n
5n 4 2
5n 4 2 n
5n 4 2
5n 4 2
5n 2
1
5
2
5n n
n 5 5;
lim
lim
n
2
2 n
2
2 5
2
2n 5 4
2 5 4
n
n
3
16) lim
n 4 5n 3 2 3 n 4 3
lim
3
8n 3
5n 3 5
2
1
1
2
4
3
4
3
4
4
3
3
3
8n 3 n 5n 2 n 5n 2 n 3 n 3 3
5
5 3
5
5
5
n
lim
;
1
1
2
1
1
2
n
2
3
6
3 3 5 2 3 5 2 3
3 3
3 3 8 3 1 1 1
8
1
1
1
1
n n n 4 n n 4 n 4 n 4
n
1
3