Системы линейных уравнений

1.

Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте РФ
Институт права и национальной безопасности
Факультет национальной безопасности
Тема № 3
«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ»
Лекция № 1
профессор Резниченко Александр Васильевич
Москва – 2021

2.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Основные понятия и определения
2. Методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
3. Системы линейных однородных
уравнений

3.

Литература
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов:
Учебное пособие. – СПб: Питер, 2016.
2. Ахтямов М.А. Математика для социологов и экономистов.
– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Попов А.М. Сотников В. Н. Высшая математика для
экономистов: учебник и практикум для прикладного
бакалавриата. – М.: Изд. "Юрайт", 2014.
4. Высшая математика для экономического бакалавриата:
Учебник и практикум / Под ред. проф. Кремера Н.Ш. – М.:
Изд. "Юрайт", 2016.

4.

ПЕРВЫЙ ВОПРОС
Основные понятия и
определения

5.

Определение.
Системой m линейных алгебраических уравнений c
n переменными называется система уравнений вида:
a11 x1 a12 x2 a1 j x j a1n xn b1
Краткая форма записи
a21 x1 a22 x2 an 2 j x j a2 n xn b2
1
a x
i
,
m
b
ij
j
i
,
ij x j ain xn b j
ai1 x1 ai 2 x2 ja 1
am1 x1 am 2 x2 amj x j amn xn bm
где x1, … xn – неизвестные величины (переменные);
aij, bi ( i = 1 ÷ m, j = 1 ÷ n ) – произвольные числа, называемые
соответственно коэффициентами при переменных и свободными
членами уравнений.

6.

Определение.
Решением системы m линейных алгебраических уравнений c n переменными называется такая совокупность чисел
(x1 = k1, x2 = k2 …, xn = kn ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство (тождество).
Определение.
Система уравнений называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет
решений.
Определение.
Совместная система уравнений называется определенной,
если она имеет единственное решение, и неопределенной,
если решений больше одного.
Пример.
20 совместная
10
совместнаяи инеопределенная
определенная
22xx11 xx22 10
несовместная.
2xx xx 10
( x1–=2с
10,
x–2 =любое
0 ).
(
x
=
с
,
x
=
10
),
с
число.
1
2
15
4
x
2
20
1
2
1
2
2
1

7.

Матричная форма записи системы m линейных
алгебраических уравнений c n переменными
где А – матрица коэффициентов при переменных или матрица системы;
X – матрица-столбец переменных;
В – матрица-столбец свободных членов.
a11 x1 a12 x2
a21 x1 a22 x2
Аm,n Х n ,1
a x a x
m2 2
m1 1
a1n xn b1
a2 n xn b2
...
amn xn bm
АХ В.

8.

Векторная форма записи системы m линейных
алгебраических уравнений c n переменными
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
А1 , А2
... Аn
;
...
...
...
a
a
a
m1
m2
mn
b1
b2
В
...
b
m
где А1, А2 …Аn – вектор-столбцы коэффициентов при переменных x1,… xn;
В – вектор-столбец свободных членов.
А1 х1 А2 х2 ... Аn хn B
n
или
А х
j 1
j
j
B.

9.

ВТОРОЙ ВОПРОС
Методы решения систем
линейных алгебраических
уравнений

10.

Решение системы методом обратной матрицы
Если определитель матрицы системы n линейных уравнений с n
переменными (определитель системы) Δ = | A| ≠ 0 (т.е. матрица
A – невырожденная), то единственное решение системы определяется следующим образом:
из матричной формы записи АХ В A 1 ( AX ) A 1B.
Так как A 1 ( AX ) ( A 1 A) Х EХ Х Х А 1В.
Пример.
x1 2 x2 4
1 2
4
; В ; det A 1 5 3 2 1.
; A
3 5
11
3x1 5x2 11
1 ~
1 ~ 5 2
~ 5 2
, где A
;
A
A
A
det A
( 1)
3 1
3 1
1
x1
5 2 4 ( 5) 4 2 11 2
1
x1 2; x2 1.
Х A В
3 1 11 3 4 ( 1) 11 1
x2

11.

Пример.