Системы линейных уравнений. Лекция 2

1.

GİRİŞ HİSSƏ
ЛЕКЦИЯ 2
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
PLAN
Общий вид системы линейных уравнений
Основная и расширенная матрица системы линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли
Система n линейных уравнений n неизвестными. Формулы Крамера
Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система
решений

2.

ЛИТЕРАТУРА
1) Под ред. Н.Ш.Кремера . Высшая математика для экономистов.
ЮНИТИ 2012
2) Н.Дж.Мусаев, В.Я.Гюльмамедов. Лекции и задачи по курсу высшей
математики. 1-я и 2-я части, Баку2002
3) В.А.Ильин . Э.Г.Позняк . Линейная алгебра.-М.: Наука, 2010
4) В.А.Ильин .Э.Г. Позняк. Основы математического анализа.Часть 1-М.:Физматлит,2005
5) Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике .Москва.1-я
и 2-я части, 2018
6) Под ред. В.И.Ермакова. Сборник задач по высшей математике для
экономистов-М.2006
7) Ю.М.Протасов. Линейная алгебра и аналитическая геометрия .2017

3.

К системам линейных уравнений приводит множество прикладных , в том
числе и экономических задач. В этой лекции мы введём понятие системы
линейных уравнений, рассмотрим различные виды и способы их решения.
Систему уравнений вида
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
am x1 am x2 am xn bm
1
2
n
(1)
называют системой m линейных уравнений с n неизвестными x1 , x2 , , xn

4.

Коэффициенты этих уравнений можно записать в виде матрицы
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 am 2
a1n
b1
a2 n
b2
; B
am
bm
(2)
n
А называется основной матрицей системы (1); В – столбец свободных членов,
составленный из чисел, стоящих в правых частях уравнений системы.
Если все свободные члены равны нулю, то есть В – нуль матрица, то система
(1) называется однородной. Если же хотя бы один из чисел
b1 , b2 , , bm
отличен от нуля, то система (1) называется неоднородной.
Упорядоченная совокупность чисел 1 , 2 , , n называется решением
системы (1), если каждое уравнение обращается в числовое равенство после
подстановки в него чисел i вместо X i i 1,2, , n .

5.

Решить систему значит найти все её решения или доказать, что их нет.
Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то система называется
совместной.
Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Если совместная система имеет одно решение, то она называется
определенной, если более одного решения, то – неопределенной.
Систему линейных уравнений (1) можно записать и в матричной форме:
A X B , где
А- основная матрица, В – столбец свободных членов, а Х- матрица –столбец,
составленная из неизвестных X j j 1,2, , n
a11 a12
a21 a22
a
m1 am 2
a1n x1 b1
a2 n x2 b2
am xn bm
n
(3)

6.

Матрица, состоящая из основной матрицы с добавлением к ней столбца
свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы
(1)
a11 a12
a21 a22
*
A
a
m1 am 2
a1nb1
a2 nb2
am bm
n
(4)
*
Ранг матрицы A либо равен рангу А, либо на единицу больше. Чтобы решить
систему (1), сначала надо выяснить, совместна она или несовместна.

7.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ.
Система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг
*
расширенной матрицы A равен рангу матрицы А.
*
Причем, если 1) r A r A n , то система определенная (имеет одно
решение).
*
2) r A r A n , то система неопределенная
( имеет множество решений).
Пример. Пусть дана система
2 X1 X 2 X 3 5
X1 3X 2 3X 3 7
5 X 1 3 X 2 3 X 3 7
Выясним, является ли она совместной или несовместной.
2 1 1
A 1 3 3
5 3 3

8.

Определим r A
2 1
M2
6 1 7 0
1 3
2 1 1
M 3 1 3 3 0 (два столбца пропорциональны)
5 3 3
Итак, r A 2
2 1 1 5
*
A 1 3 3 7
5 3 3 7
*
Определим r A
2 1
M2
7 0
1 3
2 1 1
M3 1 3 3 0
5 3 3

9.

2 1 5
M 3 1 3 7 42 35 15 75 42 7 88 0
5 3 7
3
r A r A система несовместима.
*
Следовательно, r A
*

10.

СИСТЕМА n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ.
МЕТОД КРАМЕРА.
Рассмотрим случай, когда число уравнений системы (1) равно числу
неизвестных, т.е. m n . Такую систему называют квадратной.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 an xn bn
(4)
n
Матрица
a11 a12
a21 a22
A
a a
n1 n 2
a1n
a2 n
- основная матрица системы (4).
an
n

11.

Пусть det A 0 . Тогда система (4) имеет единственное решение,
выражаемое формулами:
i
Xi
(К)
Эти формулы называются формулами Крамера.
- определение основной матрицы А.
i - определитель матрицы А, в которой i - ый столбец заменен столбцом
свободных членов, т.е.
a11 a12 bi a1n
a21 a22 b2 a2 n
i
a a b a
n
n
n1 n 2
n

12.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Первое уравнение системы (4) умножим на A1S , второе на A2 S
и т.д. Затем почленно сложим уравнения и получим:
a A a A a A x a A a A a A x
a A a A a A x a A a A a A X
11
1S
1S
21
1S
2S
2S
n1
2S
nS
nS
1
nS
12
S
1S
22
1n
2S
1S
n2
2n
2S
nS
2
nn
nS
n
b1 A1S b2 A2 S bn AnS
где: S - один из чисел 1,2,… n
A1S , A2 S , AnS - алгебраические дополнения элементов S -го столбца.
В случае, когда K S имеем: a1k A1S a2 k A2 S ank AnS 0 (по
5-му свойству определителей: сумма произведений элементов какой-либо
строки или столбца с алгебраическими дополнениями элементов другой
строки или столбца равна нулю).

13.

Получаем:
a A a A a A X
1S
1S
2S
2S
nS
nS
b1 A1S b2 A2 S bn AnS
X S S
S
XS
Что и требовалось доказать.
Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:
2 x 3 y 13
5 x y 7
S

14.

Решение
2 3
A
- основная матрица системы .
5 1
2 3
2 15 17
5 1
13 3
1
13 21 34
7 1
2 13
2
14 65 51
5 7
34 2
X 1
17
2 51
У
3
17
Ответ: (2;3)
Систему вида (4) можно решить и матричным способом.

15.

Систему (4) запишем в матричном виде:
a11 a12
a21 a22
a
n1 an 2
Если det A 0, то для
A 1 , получим:
a1n x1 b1
a2 n x2 b2
или AX B
an xn bn
(5)
n
A A 1 . Обе части равенства (5) слева умножим на
A 1 AX A 1 B
X A 1 B

16.

Если дано матричное уравнение ХА=В, то если det A 0, обе части данного
1
уравнения справа умножить на A , получим:
XA A 1 B A 1
X B A 1
Пример: дана система:
2 x 3 y 13
5x y 7
Решить матричным способом.

17.

Решение
2 3
A
- основная матрица системы .
5 1
Данную систему запишем в матричном виде:
Найдем A
1
2 3 x 13
5 1 y 7
2 3
det A
2 15 17 0 A 1
5 1
1 A11 A21
1
A
det A A12 A22
A11 1 1 1
1 1
A12 1 5 5
1 2
A21 1 3 3
2 1
A22 1
2 2
2 2

18.

1 1 3 1 1 3
A
17 5 2 17 5 2
x 1 1 3 13
y 17 5 2 7
x 1 13 21
y 17 65 14
x 1 34
y 17 51
x 2
y 3
1
Ответ: (2,3)

19.

ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Рассмотрим однородную систему
неизвестными:
m
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0
am x1 am x2 am xn 0
1
2
линейных уравнений с
n
(5)
n
Однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно решение –
нулевое.
X1 0,
X 2 0, ,
Xn 0
Совместность этой системы вытекает также из теоремы Кронекера-Капелли,
*
так как для системы (5) r A r A .
Теперь
выясним когда, однородная система линейных уравнений
неопределенна, т.е., когда система имеет решение, отличное от нуля.
Теорема. Для того, чтобы однородная система m линейных уравнений с n
Неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы
ранг r матрицы коэффициент был меньше n .

20.

Действительно, если r n , то система имеет единственное решение, а
именно нулевое.
Если же r n , то система неопределенная, и имеет решение,
отличное от нулевого.
Теорема. Для существования отличного от нуля решения однородной
системы n линейных уравнений с n неизвестными необходимо и достаточно,
чтобы определитель матрицы коэффициент системы равнялся нулю.
Действительно, если определитель матрицы коэффициент системы равен
нулю, то ранг матрицы r меньше числа неизвестных n ( r n ). Это
означает, что система – неопределенна, т.е. система имеет решения, отличные
от нуля.
Пусть
X1 1 , X 2 2 , , X n n - какое-нибудь ненулевое
решение однородной системы. Это решение можно рассматривать как строку
X 1 1 ; 2 ; ; n .
cX
c ; c ; ; c очевидно тоже будет решением
Тогда строка
1
1
системы.
2
n

21.

Далее, если X
2
1 ; 2 ; ; n - какое-то другое решение системы, то
при любых C1 и C2 линейная комбинация
C1 X 1 C2 X 2 c1 1 c2 1 ; c1 1 c2 2 ; ; c1 n c2 n
Этих решений тоже будет решением системы.
Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (5) тоже
будет ее решением. Поэтому достаточно найти такие линейно независимые
решения системы (5), через которые линейно выражались бы все остальные её
решения.
1
K
2
Линейно независимая система решений X , X , X
системы
уравнений (5) называется фундаментальной, если каждое решение системы
1
K
2
(5) является линейной комбинацией X , X , X .
Теорема. Если ранг r матрицы коэффициент системы (5) меньше числа
переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (5)
состоит из n r решений.

22.

Пример. Исследовать и решить однородную систему линейных уравнений:
2 X1 3X 2 X 3 0
X1 X 2 X 3 0
2 X 1 2 X 2 2 X 3 0
Решение
2 3 1
A 1 1 1 - матрица коэффициентов
3 2 2
2 3 1
det A 1 1 1 4 9 2 3 4 6 0 данная система
3 2 2
неопределенна.

23.

2 3
M2
2 3 5 0 r A 2 - базисный минор.
1 1
2 x1 3x2 x3
x1 x2 x3
2 3
5
1 1
X3 3
1
X 3 3 X 3 4 X 3
X3 1
2 X3
2
2 X 3 X 3 X 3
1 X3
4X3
X1
5
X3
X2
5
Пусть X 3 5C , тогда X 1 4C; X 2 C
Ответ: (4С; С; -5С)

24.

МЕТОД
ГАУССА.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными. Метод
Гаусса является методом последовательного исключения неизвестных. Он
состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в
равносильную ей систему треугольного или ступенчатого вида, которая легко
решается. Для этого данную систему подвергают преобразованиям, которые
называются элементарными:
1) прибавление к обеим частям одного уравнения системы
соответствующих частей другого уравнения той же системы, умноженных на
некоторое число ;
2) перестановка местами уравнений в системе;
3) удаление из системы уравнений вида 0=0
С помощью преобразования 1) любую систему линейных уравнений
можно преобразовать так, чтобы некоторое фиксироваемое неизвестное X j ,
сохранившись в одном из уравнений, было исключено из всех других
уравнений системы.
Зафиксируем некоторое неизвестное X j и выберем в системе уравнение,
содержащее это неизвестное. Пусть это i -ое уравнение.

25.

Неизвестную X j назовем ведущим неизвестным, i -ое уравнение - ведущим
уравнением, а aij - ведущим элементом
a 0 . Для того, чтобы
ij
исключить неизвестную X j из k -го уравнения, умножим ведущее уравнение
на некоторое число и прибавим к соответствующим частям k -го
уравнения. При этом коэффициенты k -го уравнения преобразуются по
формулам:
(6)
ak' ak aij
1,2, , n
Подберем так, чтобы коэффициент при X j в k -ом уравнении стал равным
нулю
akj' akj aij 0
akj
aij
(7)
Используя одно и то же уравнение в качестве ведущего, мы можем исключить
ведущее неизвестное из нескольких уравнений, для каждого из которых надо
взять свое значение , определяемое по формуле (7).

26.

a11 0 , а X 1 - ведущее неизвестное. Обе части 1-го
a21
уравнения умножим на
a и полученное
11
a12 a21
a1n a21
a21
a21 X 1
X2
X n b1
a11
a11
a11
Пусть в системе (1)
прибавим ко второму уравнению.
Получим уравнение, которое не содержит X 1
a'22 X 2 a'2 n b'2
Аналогичным образом исключим X 1 из
систему:
3-го и т.д. уравнений. Получим
a11 X 1 a12 X 2 a1n X n b1
a'22 X 2 a'2 n X n b'2
a ' m X 2 a 'm X n b ' m
2
(8)
n
Теперь в качестве ведущего элемента выберем a'22 0 , в качестве ведущей
неизвестной X 2 , а в качестве ведущего уравнения – второе уравнение.

27.

a32
Второе ведущее уравнение умножим на
a ' и прибавим к третьему,
22
a42
ведущее уравнение умножим на
a ' и прибавим к 4-му уравнению и
22
т.д. Получим систему:
a11 X 1 a12 X 2 a1n X n b1
a '22 X 2 a '2 n X n b'2
a"33 X 3 a"3 X n b"3
a"m X 3 a"m X n b"m
n
3
(9)
n
Аналогичным образом продолжим этот процесс. В результате данная
система преобразуется в ступенчатую систему, при r n :
C11 X 1 C12 X 2 C1n X n d1
C22 X 2 C2 n X n d 2
Crr X r Cr X n d r
n
(10)

28.

Если r n , то система имеет единственное решение. Из последнего
уравнения системы (11) находим значение X n . Подставив это значение в
предпоследнее уравнение, находим значение X n 1 и т.д.
Если не r n , то система имеет множество решений. Из системы (10)
находим выражения неизвестных X 1 , X 2 , , X r через неизвестные
X r 1; X r 2 ; ; X n :
X 1 1 1 r 1 X r 1 1n X n
X 2 2 2 r 1 X r 1 2 n X n
X r r r r 1 X r 1 rn X n
(12)

29.

Придавая неизвестным
X r 1; X r 2 ; ; X n ,
произвольные
значения и
вычисляя затем по формулам (12) значения неизвестных X 1 , X 2 , , X r мы
будем получать каждый раз решение системы (10), а значит и решение
исходной системы. Выражение (12) называют общим решением системы, а
любое решение с конкретными значениями неизвестных называют частным
решением системы. Неизвестные X r 1 ; X r 2 ; ; X n называют свободными, а
X 1 , X 2 , , X r - базисными.
Пример. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений.
3 X1 2 X 2 X 3 6
2 X 1 X 2 3 X 3 4
4 X 1 5 X 2 X 3 8

30.

Решение
За ведущее уравнение примем первое уравнение, за ведущее неизвестное
X3:
3 X 1 2 X 2 X 3 6
7 X 1 7 X 2 14
7 X 1 14 7 X 2 14
3X1 2 X 2 X 3 6
X 1 X 2 2
X 2 X1 2
X 3 6 3X1 2 X 2 6 3X1 2 X1 4 2 X1
Пусть X 1 C, тогда
X 2 C 2; X 3 2 C
Ответ: C; C 2; 2 C - общее решение.
Пример: Методом Гаусса решите систему линейных уравнений:
3 X 1 4 X 2 5 X 3 4
2 X 1 4 X 2 3 X 3 3
X 1 6 X 2 8 X 3 3

31.

Решение
Данная система эквивалентна следующей:
X1 6 X 2 8 X 3 3
2 X 1 4 X 2 3 X 3 3
3 X 1 4 X 2 5 X 3 4
X1 6 X 2 8 X 3 3
X1 6 X 2 8 X 3 3
16 X 2 19 X 3 3
16 X 2 19 X 3 3
14 X 2 19 X 3 5
2 X 2 2
X 2 1;
16 19 X 3 3
X 3 1;
Ответ: (1; 1; 1)
X1 3 6 X 2 8 X 3 1

32.

ИТОГ
Итак, мы ознакомились с системами линейных уравнений. Рассмотрели как
системы m линейных уравнений с n неизвестными, так и « квадратные»
системы линейных уравнений. Изучили метод Гаусса, матричный способ,
формулы Крамера. Также ознакомились с системами линейных однородных
уравнений. Ввели понятие фундаментальной системы решений.

33.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1) Общий вид системы линейных уравнений
2) Какие системы называются совместными, а какие несовместными; какие
определенными, а какие неопределенными
3) Основная и расширенная матрицы
4) Теорема Кронекера-Капелли
5) В чём заключается метод Гаусса
6) Какие системы линейных уравнений можно решить матричным способом
7) Формулы Крамера
8) Фундаментальная система решений системы линейных однородных
уравнений