Механические колебания. Лекция 8

1.

ЛЕКЦИЯ 8
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

2.

Виды и признаки колебаний
Колебания
делятся
на
механические
и
электромагнитные (электромеханические комбинации)
Для колебаний характерно превращение одного вида
энергии в другую – кинетической в потенциальную,
магнитной в электрическую и т.д.
Колебательным движением (или просто колебанием)
называются процессы, повторяющиеся во времени.

3.

Колебательное движение является периодическим.
Простейшим примером периодического движения служат
колебания груза на конце пружины.
)

4.

Три признака колебательного движения:
повторяемость (периодичность) – движение по
одной и той же траектории туда и обратно;
ограниченность пределами крайних положений;
действие силы, описываемой функцией F = – kx.

5.

Колебания называются периодическими, если
значения физических величин, изменяющихся в процессе
колебаний, повторяются через равные промежутки
времени.
•Простейшим типом периодических колебаний являются
так называемые гармонические колебания.
•Любая колебательная система, в которой возвращающая
сила прямо пропорциональна смещению, взятому с
противоположным знаком (например,
F = – kx),
совершает гармонические колебания.
•Саму такую систему часто называют гармоническим
осциллятором.

6.

Различные периодические процессы (повторяющиеся
через равные промежутки времени) можно представить
как наложение гармонических колебаний.
Периодический процесс можно описать уравнением:
f (t ) f (t nT )
Колебания
называются
гармоническими,
зависимость некоторой величины имеет вид
x A cos
или
x A sin
если

7.

Параметры гармонических колебаний
Расстояние груза от положения равновесия до точки, в
которой находится груз, называют смещением x.
Максимальное смещение – наибольшее расстояние от
положения равновесия – называется амплитудой и
обозначается, буквой A.
0t определяет смещение x в данный момент
.времени t и называется фазой колебания.
0
0
называется начальной фазой колебания при t=0

8.

x A cos

9.

9

10.

10

11.

Частота колебаний ν определяется, как число полных
колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):
1 Гц = 1 колебание в секунду.
1
T
• Период колебаний Т – минимальный промежуток
времени, по истечении которого повторяются значения
всех физических величин, характеризующих колебание
T
2
0
1

12.

• ω – циклическая (круговая) частота – число
полных колебаний за 2π секунд.
0 2
• Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет
лишь на ее положение в некоторый произвольный
момент времени t.
• Гармонические колебания являются всегда
синусоидальными.
• Частота и период гармонических колебаний не
зависят от амплитуды.

13.

• Смещение описывается уравнением
x Acos( 0t )
тогда, по определению:
скорость
ускорение
dx
x 0 Asin ( 0t )
dt
d x
ax
02 Acos( 0t )
dt
0 A m – амплитуда скорости;
02 A am – амплитуда ускорения.

14.

Графики смещения скорости и ускорения
Уравнения колебаний запишем в следующем виде:
x Acos( 0t )
x m sin( 0t )
a a cos( t )
m
0
x

15.

Скорость колебаний тела максимальна и равна
амплитуде скорости в момент прохождения через
положение равновесия (x=0).
При максимальном смещении ( x A ) скорость
равна нулю.
Ускорение равно нулю при прохождении телом
положения равновесия и достигает наибольшего
значения, равного амплитуде ускорения при
наибольших смещениях.

16.

Основное уравнение динамики гармонических
колебаний
• Исходя из второго закона, F ma , можно записать
Fx m 02 Acos( 0t ) m 02 x
Fx m 02 x
сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению
равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой).
• Примером сил являются упругие силы. Силы же
имеющие иную природу называются квазиупругими.
Квазиупругая сила
Fx kx,
где k – коэффициент квазиупругой силы.

17.

Получим основное уравнение динамики гармонических
колебаний, вызываемых упругими силами:
d2 x
d2 x
d2 x k
m 2 kx или m 2 kx 0 ;
x 0 ,
2
dt
dt
dt
m
2
d x
2
0 x 0
2
dt
тогда
Основное уравнение
динамики
гармонических
колебаний
Решение этого уравнения всегда будет выражение вида
x Acos( 0t )

18.

Круговая частота колебаний
но
k
m
2
0
тогда
Период колебаний
2
0
T
2
k
T
m
m
T 2
k
x A cos

19.

Энергия гармонических колебаний
Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой,
которую произведет возвращающая сила
Fx kx

20.

dU
Fx
; dU Fdx kxdx , отсюда
dx
x
U k xdx
0
2
kx
1 2 2
Потенциальная энергия U
kA cos ( 0t )
2
2
Кинетическая энергия
m 2 1
K
m 02 A2sin 2 ( 0t )
2
2
Полная энергия:
1
1 2
2 2
E m 0 A kA
2
2
Полная механическая энергия гармонически колеблющегося
тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

21.

Гармонический осциллятор
1. Пружинный маятник –
это
груз
массой
m,
подвешенный
на
абсолютно
упругой
пружине с жесткостью k,
совершающий
гармонические колебания
под действием упругой
силы F kx

22.

Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx
получим уравнение движения маятника:
d 2x
m 2 kx
dt
или
d 2x k
x 0
2
dt
m
Решение этого уравнения – гармонические колебания вида:
x A cos( 0t )
циклическая частота ω
k
0
;
m
период Т
m
T 2
k

23.

2 Математическим маятником –
называется идеализированная система,
состоящая из невесомой, нерастяжимой
нити, на которую подвешена масса,
сосредоточенная в одной точке (шарик на
длинной тонкой нити).
•При отклонении маятника от
вертикали, возникает вращающий
момент
M mgl sin
•Уравнение динамики вращательного
движения для маятника: M J
d
2
dt
2
Момент инерции маятника J ml 2
-угловое ускорение

24.

Тогда
2
d
2
ml
mgl sin
2
dt
sin .
Обозначим :
, или
d 2 g
sin 0
2
dt
l
g
2
l
2
d
2
Уравнение движения маятника
0 0
2
dt
- Это уравнение динамики гармонических колебаний.
Решение уравнения имеет вид:
m cos( 0t )
l
g
T 2
0
g
l
Т – зависит только от длины маятника и ускорения
свободного падения.

25.

3 Физический маятник – это
твердое тело, совершающее под
действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной
горизонтальной оси, проходящей
через точку подвеса О, не
совпадающую с центром масс С
Вращающий момент маятника:
M mgl sin
l – расстояние между точкой
подвеса и центром инерции
маятника О-С.
Обозначим:
J – момент инерции маятника относит. точки подвеса O.

26.

d 2 - угловое ускорение, тогда
2
dt
sin
d 2
J 2 mgl sin
dt
Уравнение динамики вращательного движения
d 2
2
0 0
2
dt
mgl
J
2
0
J
T 2
mgl
m cos( 0t )
lïð.
J
ml
T 2
lïð.
g
lпр. – приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебания которого совпадает с
периодом колебаний данного физического маятника.

27.

Способы представления гармонических колебаний
Гармонические колебания можно представить несколькими способами:
аналитический:
x A cos( 0t )
графический;
геометрический, с помощью вектора амплитуды
(метод векторных диаграмм).

28.

Геометрический способ, с помощью вектора
амплитуды (метод векторных диаграмм).
x A cos( t 0 )
x0 A cos 0
Ox – опорная прямая

29.

x A cos( t 0 )
x0 A cos 0
Вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует
гармоническое колебание.
Проекция кругового движения на ось у, также совершает
гармоническое колебание
y A sin( t )

30.

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических
колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной
прямой.
x1 A1 cos( 0t 1 )
x2 A2 cos( 0t 2 )
Такие
два
колебания
называются когерентными,
их разность фаз не зависит от
времени:
2 1 const

31.

x1 A1 cos( 0t 1 )
x2 A2 cos( 0t 2 )
Ox – опорная прямая
A1 – амплитуда 1-го колебания
φ1 – фаза 1-го колебания.
A A1 A 2
Результирующее
колебание,
гармоническое,
частотой ω:
тоже
с
x A cos( t )

32.

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду,
результирующего колебания:
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
2
1
2
2
Начальная фаза определяется из соотношения
A1 sin 1 A2 sin 2
tg
A1 cos 1 A2 cos 2
Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности
начальных фаз

33.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
x A1 cos( 0t 1 )
1 2
y A2 cos( 0 t 2 )
2 1
y 2 x 2 2 xy
2
2
cos( 2 1 ) sin ( 2 1 )
2
A2 A1 A1 A2
В результате получили уравнение
эллипса с произвольно
расположенными осями

34.

Свободные затухающие механические колебания
Все реальные колебания являются затухающими.
Энергия механических колебаний постепенно расходуется
на работу против сил трения и амплитуда колебаний
уменьшается.
Сила трения (или сопротивления)
Fòð r
где r – коэффициент сопротивления,
– скорость движения

35.

Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний
вдоль оси x
max kx r x
где kx – возвращающая сила,
r x
– сила трения.
d 2 x r dx k
x 0
2
dt
m dt m
r
Введем обозначения
2m
2
k
2
0
m
d x
dx
2
2
0x 0
2
dt
dt

36.

Решение уравнения имеет вид
x A0 e t cos( t )
( 0 )
Найдем частоту колебаний ω.
2
0
k
0
m
;
r
2m
Условный период
0
2
2
k r
.
m 2m
;
T
2
2
2
0
2
,

37.

Коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания
A0e t
A(t )
T
e
( t T )
A(t T ) A0e
где β – коэффициент затухания

38.

Логарифмическим декрементом затухания называется
натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих
друг за другом через период Т.
A(t )
T
ln
ln e T
A(t T )
A0
e e1 ,
A
1;
T
1
.
Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая
величина, обратная времени, в течение которого амплитуда
уменьшается в е раз,
τ – время релаксации.

39.

Когда сопротивление становится равным критическому
r rкр ,
0 ,
то круговая частота обращается в нуль,
колебания
прекращаются.
Такой
апериодическим:
0 T
процесс
называется
r rêð
0
0
T

40.

Вынужденные механические колебания
Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы
(– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная
периодическая сила F – вынуждающая сила:
max kx r x Fx
– основное уравнение колебательного процесса, при
вынужденных колебаниях
d2 x
dx
2
2
0 x Fx
2
dt
dt
Fx F0 cos t.

41.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний
x A sin( t )
Задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением
вынужденных колебаний и вынуждающей силой.
Введем обозначения:
A1 – амплитуда ускорения;
A2 2 – амплитуда скорости;
A3 02 – амплитуда смещения;
A4 F0 / mA – амплитуда вынуждающей силы
2

42.

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:
A 4 A1 A 2 A 3
2
A4
( A3 A1 )
2
2
A2

43.

A
1)
0
F0
m ( 02 2 ) 2 4 2 2
(частота вынуждающей силы равна нулю)
x F0 / m 02
– статическая амплитуда, колебания не совершаются.
0 (затухания нет). С увеличением ω (но при
0 ), амплитуда растет и при 0 , амплитуда
2)
резко возрастает (
А
). Это явление называется
– резонанс. При дальнейшем увеличении ( 0 )
амплитуда опять уменьшается.
3) 0. 2 2 2 – резонансная частота
ðåç
0

44.

0
À
ðåç 02 2 2
- явление резонанса
– резонансная частота

45.

ðåç 2
2
0
2
– резонансная частота.
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении частоты вынуждающей силы к
ðåç называется
резонансом.
С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса
проявляется все слабее и исчезает при
0
2

46.

Автоколебания
Классическим примером автоколебательной системы служат
механические часы с маятником и гирями.
Принцип работы всех автоколебательных систем
Периодическим поступлением энергии в колебательную систему
от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная
система посредством обратной связи.