Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

1. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Теорема 9. (Вейерштрасса)
Всякая возрастающая числовая последовательность
{xn} имеет предел: конечный, если она ограниченна сверху, и
бесконечный, если она неограниченна сверху, причем
lim
xn sup{x }.
n
n
Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то
существует (конечный или бесконечный) предел
lim
xn inf{ x },
n
n
и, следовательно, этот предел конечен,
если
последовательность ограниченна снизу, и бесконечный, если
она неограниченна снизу.
1
Бер Л.М Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

2. КРИТЕРИЙ КОШИ

Теорема 10 (Критерий Коши).
Для того чтобы последовательность {xn}
сходилась к конечному пределу, необходимо и
достаточно, чтобы
N m, n N x x .
m
n
Последовательность, удовлетворяющая этому
условию
называется
«фундаментальной
последовательностью» или последовательностью,
«сходящейся в себе».
2
Бер Л.М Введение в анализ
ТПУ Рег.№ 282 от 25.11.2009

3. Функции

Определение. Если каждому элементу х из множества X по
определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент
у из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f.
Обозначение: f : X Y или у = f(x).
Способы задания функции:
словесный,
аналитический,
табличный,
графический.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена на множестве X, а
функция z = (y) определена на множестве Y, причём область значений
функции f содержится в области определения функции . Функция z
= (f(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или
суперпозицией функций y = f(x) и z = (y).
Обозначение: f, или (f) = (f (x)), - внешняя, f – внутренняя
функция.
3
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

4. Основные элементарные функции

Постоянная у = с, с – const (константа);
степенная функция у = x , R;
показательная функция у = ах, а > 0, а 1;
логарифмическая функция у = log a x, а > 0, а 1;
тригонометрические функции
у = sin x, у = cos x, у = tg x, y = ctg x;
обратные тригонометрические функции
у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.
4
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

5. Основные элементарные функции

5
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

6. Основные элементарные функции

6
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

7. Основные элементарные функции

7
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

8. Основные элементарные функции

8
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

9. Классификация функций

Все функции, получаемые с помощью конечного числа
алгебраических действий над основными элементарными функциями, а
также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс
элементарных функций.
n
Функция вида
Pn ( x) ai x n i
i 0
где
, называется целой рациональной функцией
или алгебраическим многочленом (полиномом) степени n. Многочлен
первой степени называется также линейной функцией.
Функция, представляющая собой отношение двух целых
рациональных функций
P ( x)
y f ( x) n
Qm ( x)
называется дробно-рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробно-рациональной
функцией образует класс рациональных функций.
9
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

10. Классификация функций

Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной функцией,
называется иррациональной функцией.
Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется
трансцендентной.
Трансцендентными в частности являются функции:
Секанс: y = sec x, где sec x = 1/cos x.
Косеканс: y = cosec x, где cosec x = 1/sin x.
Синус гиперболический: y = sh x = (ex – e–x)/2.
Косинус гиперболический: y = ch x = (ex + e–x)/2.
Тангенс гиперболический: y = th x = (ex – e–x)/ (ex + e–x).
Котангенс гиперболический: y = cth x = (ex + e–x)/ (ex – e–x).
Секанс гиперболический: y = sch x = 2/ (ex + e–x).
Косеканс гиперболический: y = csch x = 2/ (ex – e–x).
10
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009

11. Спасибо за внимание

LOGO
Спасибо за внимание
Бер Л.М. Введение в анализ
ТПУ Рег.№282 от 25.11.2009
11