Математический анализ

1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.

Глава 1. Введение в математический анализ.
Множества, функции.
§1 Множества. Основные определения.
Под множеством понимают совокупность некоторых
объектов, объединенных по какому-либо признаку.
Объекты, из которых состоит множество, называют его
элементами. Множество, не содержащее ни одного
элемента, называют пустым и обозначают .

3.

Множества, элементами которых являются числа,
называют числовыми. Примерами числовых множеств
являются:
N 1;2;3;...; n;...
множество натуральных чисел;
Z 0; 1; 2;...; n;... множество целых чисел;
m
Q : m Z , n N множество рациональных
n
чисел;
R
множество действительных чисел.

4. Включение множеств

В
А
В А
(А В)
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
4

5. Объединение множеств

А
В
А
В
В
АUВ
АUВ
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
А
АUВ=В
5

6. Пересечение множеств

А
В
А
А
В
В
А
U
В
В =
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
А
U
U
А
В=A
6

7. Вычитание множеств

А
А
В
В
А\В
А\В
А
А
В
А\В=
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
В
А\В
7

8. Числовые множества

1.
2.
N, Z, Q, I, R, R R, C.
Подмножества вещественных чисел:
Пусть а, в R, а в .
а, в x R | а x в ;
Интервал:
а, в x R | a x в ;
Полуинтервал: a, b x R | а x в , a, b x R | а x в ;
Замкнутый луч: a, x R | x a , , a x R | x a ;
Открытый луч: a, x R | x a , , a x R | x a .
Отрезок, сегмент:
Определение. Пусть x0 R, > 0. Интервал (x0- , x0+ ) будем
называть -окрестностью точки x0 .
Обозначение: U(x0, )= (x0- , x0+ )= {x R | |x - x0|< }.
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
8

9. Числовые множества

3.
R + , – = R
Пусть > 0. Тогда
U(+ , )=(1/ ; + ) + = x | x > 1/ ;
U(– , )=(– ; –1/ ) – = x | x < – 1/ ;
U( , )=(– ; –1/ ) (1/ ; + ) = x | |x|> 1/ .
Бер Л.М. Введение в анализ.
ТПУ Рег. № 282 от 25.11.2009
Company Logo
9

10.

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать
некоторые логические символы:
означает «для любого», «для всякого», «каждый»;
означает «существует», «найдется»;
: «имеет место», «такое, что»;
и
«предложения
«из предложения
предложение
»
равносильны»;
следует
.

11.

§2 Числовые промежутки. Окрестность точки.
Пусть
a
и
b действительные числа, причем a b.
Числовыми промежутками (интервалами) называются
подмножества всех действительных чисел, имеющих
следующий вид
a; b x : a x b отрезок;
a; b x : a x b интервал;
a; b x : a x b полуинтервал;
a; b x : a x b полуинтервал.

12.

Числа
a и b называются соответственно левым и
правым концами промежутков.
Пусть
x0
любое действительное число (точка на
числовой оси). Окрестностью точки
любой интервал
a;b ,
x0
содержащий точку
называется
x0 .
В частности, интервал
( x0 ; x0 ) V ( x0 , ) , где 0
называется -окрестностью точки
x0 .

13.