Интегривование тригонометрических функций

1.

1
Интегралы вида:
R sin x, cos x dx

2.

Замена переменной:
x
t tg
2

3.

Тогда
x 2arctgt
2
dx (2arctgt ) dt
dt
2
1 t
Следовательно
x
2tg
2
2t
sin x
2
1
t
2 x
1 tg
2
x
1 tg
2
1 t
2
cos x
2
x
1
t
1 tg 2
2
2

4.

Вычислить интеграл:
1
sin x dx

5.

x
t tg
2
1
2
dx dx
dt
2
sin x
1 t
2t
sin x
1 t 2
1
2
1
x
dt dt ln t C ln tg C
2
2t 1 t
t
2
1 t 2

6.

2
Если выражение R(sin x,cos x) при
замене sin x на (-sin x) только меняет
знак, то интеграл
R sin x, cos x dx
берется заменой
t cos x

7.

Вычислить интеграл:
3
sin x
cos4 x dx

8.

(sin x )
sin x
4
4
cos x
cos x
3
3
Следовательно,
можно
рекомендуемую подстановку:
3
применять
t cos x
sin x
dx dt sin xdx
4
cos x
sin 2 x 1 t 2

9.

1 t 2
1
t2
4 dt 4 dt 4 dt
t
t
t
3
1
1
t
1
4 dt 2 dt
t C
t
t
3
3
cos x
1
cos x C
3

10.

3
Если выражение R(sin x,cos x) при
замене cos x на (-cos x) только меняет
знак, то интеграл
R sin x, cos x dx
берется заменой
t sin x

11.

Вычислить интеграл:
sin
2
3
x cos xdx

12.

sin x ( cos x) sin x cos x
2
3
2
Следовательно,
можно
рекомендуемую подстановку:
3
применять
t sin x
sin
2
x cos xdx dt cos xdx
3
cos x 1 t
2
2

13.

t (1 t )dt (t t )dt
2
2
2
3
4
5
t t
t dt t dt C
3 5
2
4
3
5
sin x sin x
C
3
5

14.

4
Интегралы вида
sin x cos xdx
sin x sin xdx
cos x cos xdx
где α и β – действительные числа,
вычисляются с помощью формул,
преобразующих произведение
тригонометрических функций в сумму.

15.

Формулы преобразования:
1
sin x cos x (sin( ) x sin( ) x)
2
1
cos x cos x (cos( ) x cos( ) x )
2
1
sin x sin x (cos( ) x cos( ) x )
2

16.

Вычислить интеграл:
sin 3x cos5xdx

17.

sin
3
x
cos
5
xdx
1
(sin 8 x sin 2 x) dx
2
1 1
1
cos 8 x cos 2 x C
2 8
2