Линейность изображений

1. 4. Линейность изображений.

a) Многочлен.
N
f ( t ) an t
n 0
n
N
n!
an
.
n 1
p
n 0

2.

b) f ( t ) sin t
1 i t i t
e
e
2i
1 1
1
2 i p i p i
1 p i p i
2
2
2i
p
p
2
2

3. 5. Теорема запаздывания.

f t A a
f t F p
0, t
f t
f t , t
f t A a

4.

f t
e
e
pT p
pt
t T
f t dt
f T dT e
e
p
p
e
F p
pT
f T dT

5. Изображение прямоугольного импульса.

t 1
0,
f t 1, 1 t 2
0,
t 2
f
1 p 1 p 2
F p e
e
p
1
2
t

6. 6. Изображение производной

f t C 0,
f t F p
f t A a
кусочнонепрерывная
f t : f t , f t
'
'
f t A a
'
'
f t ?

7.

f t e
e
0
pt
pt '
f t dt (по частям)=
0
df t e
pt
0
0
f t p e
f 0 pF p p F p f 0
pt
f t dt

8.

n 1
f
t C 0,
f t A a
f t F p
n
n
f t : f t , f
n
кусочно t
непрерывная
k
f t A a , k 1,2, n
k
f t ?

9.

f 0
n
n
f t p F p
p
n 1
f
0
f 0
n
2
p
p
'

10. 7. Изображение интеграла.

f t A a
t
1 t f d A a
0
f t F p
1 t ?

11.

t
pt
1 t e
f d dt Re p a
0
0
pt
e
dt f d
0
1
e
p
p0
1
F p
p
f d

12.

t 1 n 1
n t f n d n d 1 A a
00
0
n t
1
p
n
F p

13. 8. Изображение свертки.

f1 t F1 p
f1 t A a1
f 2 t F2 p
f 2 t A a2
t
t f1 f 2 t d
0
a max a1 ,a2
t
f1 t f 2 d A a
0
t ?

14.

t
pt
t e
f1 f 2 t d dt
0
0
pt
f 2 t dt d
Re p a f1 e
0
t T
p
pT
f1 e
f 2 T dT d
e
0
0
F1 p F2 p

15. п.3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.

16.

k
ak y t f t , t 0
n
k 0
j
y 0 0, j 0, , n 1
y t ?

17.

Пусть
f t F p
y t Y p
k
k
y t p Y p , k 1, , n
n
k
ak p Y p F p
k 0
Pn p

18.

Pn p Y p F p
F p
Y p
Pn p
y t ?

19.

k
a k g t 0, t 0
n
k 0
j
g 0 0, j 0, , n 2;
n 1
g
0 1
g t

20.

g t G p
k
k
g t p G p , k 1, , n 1
n
g 0
n
n
n
g t p G p
p G p 1
n
p
n 1
k
n
ak p G p an p G p 1 0
k 0

21.

n 1
k
n
ak p an p G p an
k 0
Pn p
a
Pn p G p an Pn p n
G p
F p F p G p
Y p
Pn p
an

22.

1
y t
F p G p
an
y t
t
1
g t f d
an 0
Интеграл Дюгамеля.

23. п.4. Теорема Меллина.

Пусть F p C Re p a , p x iy и
1. F p 0, Re p a ,
p
(равномерно относительно аргумента)
2. x a :
x i
F p dy M
x i
(равномерно ограничен по x )

24.

Тогда
f t
f t A a :
1
x i
2 i x i
f t F p
e F p dp, x a .
pt

25.

Замечание. Несобственный интеграл
1
x i
2 i x i
e F p dp вычисляется
pt
вдоль прямой Re p=x>a и понимается
в смысле главного значения:
x i
x i
e F p dp lim
pt
x iA
A x iA
e F p dp
pt

26.

x i
Im p
a
x
x i
Re p

27.

Доказательство. Рассмотрим
I x,t
1
x i
2 i x i
e F p dp, p x iy
pt
и докажем:
1) I x , t x a :
x i
1 xt
'
xt
I x,t
e
F p dy M e
2
x i
I x,t x a.

28.

Замечание: на [0,T] интеграл
сходится равномерно по t.
2) Покажем, что I(x , t) не зависит от
x при x > a.
Т.к. F p C Re p a

29.

y
x1 iA
x2 iA
т. Коши
e F p dp 0
pt
x
0 a
A
x2 iA
e F p dp
pt
x1 iA
x1 iA
x2 iA
0

30.

F p 0, Re p a ,
Т.к.
p
интегралы по горизонтальным
отрезкам дадут в пределе 0.
Интегралы по вертикальным прямым
перейдут в несобственные интегралы
x1 i
e F p dp
x1 i
pt
x 2 i
x 2 i
e F p dp;
pt

31.

3) Докажем, что I ( x , t ) 0, t < 0.
Рассмотрим I( x , t ) при t < 0

32.

y
x2 iA
x iR
т. Коши
'
CR
e F p dp 0
pt
R
R
x
0 a
x
e F p dp 0
pt
'
CR
x iR
t 0
л. Жордана для Re z > 0

33.

f t
1
x i
e F p dp 0, t 0, x a .
1
x i
2 i x i
f t
pt
2 i x i
e F p dp, x a .
pt
Re p a
f t M e
xt
inf( x) a
f t A a :

34.

f t F p
Покажем, что
x i
f t
e F q dq dt
e
2 i 0
x i
a Req x Re p
1
pt
p q t
dt dq
F q e
2 i x i 0
1
x i
1
x i F q
qt
2 i x i p q
dq
1
x i F q
2 i x i q p
dq

35.

=(интеграл можно вычислить с
помощью вычетов, учитывая, что
контур обходится по часовой стрелке
“-”)=
F q
Выч
,q p F p
q p

36.

Замечание. Если аналитическое
продолжение F(p) в левую
полуплоскость (Re p< a), имеющее
конечное число N изолированных
особых точек pn и удовлетворяющее
условиям леммы Жордана, то
N
f t Выч e F p , pn , t 0
n 1
pt

37.

В частности, если F(p)=1/Pn(p), где все
нули полинома Pn(p) лежат в левой
полуплоскости Re p <a, то вычисление
f(t) не очень сложно.

38. Пример.

2
y 0 y f t , t 0
''
y 0 y 0 0
'
y t ?

39.

Y p
F p
y t ?
2
p 0
2
t
y t g t f d
0
G p
1
2
p 0
2
g t ?

40.

g t
1
x i
e
pt
2 i x i p 2 02
dp
e pt
e pt
Выч
, i 0 Выч
,
i
0
2
2
2
2
p
p 0
0
i 0 t
i 0 t
sin 0t
e
e
0
2 i 0 2 i 0
y t
1 t
sin 0 t f d
0 0

41.

f t sin 0t
y t
1
sin 0t t 0 cos 0t
2
2 0
осциллирующая функция с линейно
нарастающей амплитудой- резонанс.

42. п.5. Изображение произведения.

f1 t A a1
f1 t F1 p C
f 2 t A a2 f 2 t F2 p C
Re p a1
Re p a2
f t f1 t f 2 t A a1 a2
f t ?

43.

f t F p e
pt
f1 f 2 t dt
0
x i
1
qt
f1 t
e F1 q dq, x a1
2 i x i
x
i
1
pt
qt
f 2 t
e F1 q dq dt
e
2 i 0
x i
x
i
1
p q t
f 2 t dt dq
F1 q e
2 i x i
0

44.

x
i
1
F1 q F2 p q dq
2 i x i
a1 x Req Re p a2
x
i
1
F1 p q F2 q dq
2 i x i
a2 x Req Re p a1
f t F p C
Re p a1 a2

45. Пример.

f1 t t
1
p
f 2 t sin t
2
x i
p
2
2
dq
f t t sin t
2 i x i p q 2 q 2 2
0 x Req Re p

46.

={при помощи вычетов, с учетом
того, что контур интегрирования
замыкается вправо и обходится по
часовой стрелке- в отрицательном
направлении}=
1
Выч
,q p
2 2
2
p q q
{q=p- полюс 2-го порядка }

47.

d
1
dq q 2 2
q p
p
2 p
2
2
Замечание. Можно считать контур
интегрирования замкнутым налево и
суммировать вычеты в i ;