Проводники. Конденсаторы. Энергия электрического поля

1.

Электричество и магнетизм
Лекция 06
Проводники. Конденсаторы.
Энергия электрического поля
06 октября 2021 года
Лектор: доцент НИЯУ МИФИ,
Ольчак Андрей Станиславович

2.

Проводники и диэлектрики
Диэлектрик – вещество, где нет свободных электрических
зарядов, способных перемещаться под действием приложенного
электрического поля (= проводить электрический ток).
Проводник – вещество, где способные перемещаться заряды есть
и электрический ток (упорядоченное направленное движение
электрических зарядов) существовать может .

3.

Характеристики диэлектриков
Вектор поляризованности – дипольный момент
единицы объема поляризованного вещества
В изотропном диэлектрике
1
P
V
N
p
i 1
i
P = ε0ξE
ξ =ε - 1
– диэлектрическая восприимчивость
ε=1+ξ
– диэлектрическая проницаемость
Вектор электрической индукции в однородном диэлектрике
D = ε0 E + P = ε0εE

4.

Теоремы Гаусса для векторов в диэлектриках
σ = (P,n)
S, V
n
ds
ρ, q– сторонний заряд (не принадлежит
P
молекулам диэлектрика)
ρ’, q’ = связанный заряд (принадлежит
молекулам диэлектрика)
divP = - ρ’
O∫(P,dS)
= q’
O∫(E,dS)
= q + q’
divD = ρ
ε0 divE = ρ + ρ’

5.

Условия на границе двух диэлектриков
Связанные заряды на границе двух
диэлектриков
σ = (P,n)
D1n D2 n
E1 E2
n n
P1n P2 n
1 2
1 E1n 2 E2 n
D1
1
tg 2 2
tg 1 1
D2
2
2
1
2
1
n
E2
E2n 2
τ
E1
E2
1 E
1n
E1
2 1

6.

Кристаллические (анизотропные) диэлектрики
3
Pi 0 ij E j , i, j x, y , z.
j 1
ij ij ij
Кристаллическая
решетка алмаза
3
Di 0 ij E j
j 1

7.

Кристаллические диэлектрики
Пьезоэлектрики – кристаллические диэлектрики, в
которых при сжатии и растяжении в определённых
направлениях возникает электрическая поляризация в
отсутствие электрического поля (прямой пьезоэффект)
Пироэлектрики – кристаллические диэлектрики,
обладающие спонтанной поляризацией ( в отсутствие
электрического поля), которая изменяется при изменении
температуры.
Сегнетоэлектрики – кристаллические диэлектрики,
обладающие в определённом интервале температур
спонтанной поляризацией, которая существенно
изменяется при внешних воздействиях.

8.

Кристаллические диэлектрики
Зависимость поляризованности
от напряжённости
электрического поля в
сегнетоэлектрике.
Зависимость спонтанной
поляризации от
температуры.
Tk – температура Кюри

9.

Проводники в электрическом поле

10.

Проводник в электрическом поле
Проводник – это вещество
хорошо проводящее
электрический ток.
В проводнике есть
свободные электрические
заряды.

11.

Проводник в электрическом поле
E 0
E 0
E 0 const
, E 0 0 0
Свободные заряды в проводнике перераспределяются так, что
внутри проводника напряженность поля равна 0, а не поверхности
– перпендикулярна таковой.

12.

Проводник в электрическом поле
Граничные условия
n
D, E
D, E
Dn S S
E 0
n
Dn 0
q S
Dn
En
, E 0
0
1) Свободные заряды располагаются на поверхности проводника
2) Внутри проводника E 0, const, 0.
3) Снаружи проводника вектор E ортогонален его поверхности,
причём En 0 , E 0.

13.

Проводник в электрическом поле
E 0

14.

Поле заряженного проводника
1) Свободные заряды
располагаются на
поверхности проводника
2) Внутри проводника
E 0, const, 0.
3) Снаружи проводника вектор
E ортогонален его
поверхности, причём
En 0 , E 0.

15.

Наведенные заряды в проводнике
Принцип зеркала.
Пусть у проводящей поверхности
располагается какой-то внешний
заряд. Свободные заряды проводника
распределятся по поверхности так,
чтобы создать поле, эквивалентное
тому, что создал бы заряд
противоположного знака,
помещенный в точку, где находилось
бы зеркальное изображение
внешнего заряда.. .
En
, E 0
0

16.

Наведенные заряды в проводнике
Пример: Заряд q находится на расстоянии а от проводящей
плоской поверхности. Найти плотность поверхностного заряда
на расстоянии r от точки проекции заряда q на плоскость. Найти
потенциал этой плоскости.
En(r) = 2(kq/(r2+a2))(a/(r2+a2)1/2) =
= 2kqa/(r2+a2)3/2 = >
σ = -εqa/2π(r2+a2)3/2
φ=0
En
, E 0
0

17.

Электроемкость проводника.
Конденсаторы.

18.

Электроёмкость проводника
Опыт:
Ed l ,
1
Электроёмкостью уединённого
проводника называется
коэффициент пропорциональности
между зарядом и потенциалом
проводника
q C
Кл
C , Ф=
В
q
Ёмкость проводника зависит от его размеров и формы, но
не зависит ни от заряда, ни от потенциала проводника.

19.

Электроёмкость проводника
Ёмкость шара
q
q
R
4 0 R C
C 4 0 R
Rз 6,4 106 м,
6,4 106
C
0,7 мФ
9
9 10

20.

Конденсаторы
Электрическая ёмкость конденсатора
Электрическим конденсатором называют совокупность двух
проводников, заряженных одинаковыми по модулю и
противоположными по знаку зарядами.
Опыт:
Электрической ёмкостью конденсатора называют коэффициент
пропорциональности между зарядом обкладок и напряжением
на конденсаторе.
q CU
q
Кл
C , Ф=
U
В

21.

Конденсаторы
q
q
Цилиндрический
конденсатор
Плоский
конденсатор
Сферический
конденсатор

22.

Конденсаторы
Ёмкость конденсатора зависит
от формы и размеров обкладок,
расстояния между ними и вида
диэлектрика, заполняющего
пространство между
обкладками.
Ёмкость конденсатора не
зависит ни от заряда, ни от
напряжения на конденсаторе.
Линии напряжённости
реального конденсатора

23.

Конденсаторы
Ёмкость плоского конденсатора
q
S
1
d
2
d
1 2 Ed
0
S
qd
q
0 S C
E
0
d
1
0 S C
C
0 S
d

24.

Конденсаторы
Ёмкость при последовательном и параллельном
соединении конденсаторов
C
1
C2
C1
C2
Cn
1
1
1
1
...
Cобщ C1 C2
Cn
Cn
Cобщ C1 C2 ... Cn

25.

.
Энергия заряженного проводника и
плотность энергии электрического поля

26.

Энергия электрического поля
Электрическая энергия заряженного проводника
k N N qi q j 1 N
W
qi i
2 i 1 j 1 rij
2 i 1
qi
j i
Проводник:
dS
dV
i
0, const
q C 2 q 2
W
2
2
2C

27.

Энергия электрического поля
Электрическая энергия заряженного конденсатора
q
q
q dq
d Aвнеш 2 1 dq U dq
C
q
1
q2
Aвнеш q dq
W
C0
2C
E
dq
1
Aвнеш W W т.к. Wнач 0
2
q 2 qU CU 2
W
2C
2
2
U 2 1

28.

Энергия электрического поля
Плотность энергии электрического поля
q
q
q 2 qU CU 2
W
2C
2
2
U 2 1
E
W = CU2/2 = (εε0S/d)(E2d2/2) = εε0SdE2/2
=>
w = W/Sd = εε0E2/2
dq
1
w [Дж/м3] – плотность энергии
электрического поля :
2
w = εε0E2/2 = ED /2
В изотропной среде D = εε0 E
В анизотропной среде Dj = ε0 εijEi

29.

Энергия электрического поля
Плотность энергии электрического поля. Пример.
w = εε0E2/2
w [Дж/м3] – плотность энергии
электрического поля :
Найдем энергию поля, создаваемого в вакууме точечным
зарядом q
W = ∫ w 4π r2dr = 2πε0 ∫(q/4πε0r2)2r2dr =>
= (q2/8πε0) ∫r-2dr = q2/8πε0rq
Если r-q ->0, w -> ∞ , что нехорошо…
Версия (для электрона): re= e2/8πε0mec2 ~ 10-15м
… оказалась тоже не очень продуктивной…

30.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Следующая лекция
13 октября

31.

Примеры решения задач
Пример 1. Два проводящих шарика заряжены зарядами q1 и q2.
Найти заряды, образующиеся на шариках, после из соединения
проволокой с нулевой ёмкостью. Радиусы шариков, r1 и r2,
намного меньше расстояния между ними.
q1 q2 q1 q2
q1
r1
q1 r2
q2
r1
q2 r2
r2
q1 1 q1 q2
r1
q1 q2
r1 r2
q1 q2 r1
q
1
r1 r2

32.

Примеры решения задач
Пример 2. Плоский воздушный конденсатор ёмкости C0
подключён к источнику с напряжением U. Половину
пространства между обкладками конденсатора заполняют
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Какой
заряд пройдёт через источник?
q1
q1
q1
q2
q2
q1
q2
U
q2
U
C
0 S
d
C0
C0
C1 , C2
2
2
C0U
C0U
q1
, q2
2
2

33.

Примеры решения задач
Пример 2. Плоский воздушный конденсатор ёмкости C0
подключён к источнику с напряжением U. Половину
пространства между обкладками конденсатора заполняют
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Какой
заряд пройдёт через источник?
q1
q1
q2
q2
U
q1
q1
q2
q2
U
C0U 1
qк q1 q2
2
qн C0U
C0U 1
q qк qн
2

34.

Примеры решения задач
Пример 3. Используя понятие плотности электрической
энергии выведите формулу для энергии заряженного
плоского конденсатора.
D , E
0
2
W wV
Sd
2 0
S 0
C
d
ED 2
w
2
2 0
q
S
q 2d
W
2 S 0
q2
W
2C

35.

Примеры решения задач
Пример 4. В вакууме расположен шар радиуса R с
диэлектрической проницаемостью , который равномерно
заряжен с постоянной плотностью заряда . Найдите
зависимость плотности электрической энергии от расстояния
до центра шара.
3
r
r
4
r
2
D1
, E1
1). r R
4 r D1
3
3 0
3
E1 D1 2 r 2
w1
, dV 4 r 2 dr, W1 w1dV
2
18 0
V1
2 2 4
2 2 R 5
W1
r dr
9 0 0
45 0
R

36.

Примеры решения задач
2). r R
4 R
4 r D2
3
3
D2
2
R3
E2
, т.к. 1
2
3 0 r
R
3
3r 2
E2 D2
2 R6
w2
2
18 0 r 4
2 2 R 6 dr 2 2 R 5
W2 w2 dV
2
9 0 R r
9 0
V2
2 5
2 2 R 5 2 2 R 5 2 R 1 5
W W1 W2
45 0
9 0
45 0

37.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Следующая лекция
13 октября

38.

Энергия электрического поля
Плотность энергии электрического поля
1
1
0 W dV dV ,
2 Vтела
2 V
, D
1
W , D dV
2 V
, D , D D,
, D , D D,

39.

Энергия электрического поля
1
1
1
W , D dV , D dV D, dV
2 V
2 V
2 V
W wdV
E, D
w
2
V
V V
D 0 E w
0 E 2
2
Дж
м3