Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 2 порядка с постоянными коэффициентами

1.

Линейные однородные
дифференциальные
уравнения (ЛОДУ) 2 порядка с
постоянными
коэффициентами

2.

опрос:
1. Какое уравнение называется линейным ДУ первого
порядка?
y P x y Q x
2. При каких условиях линейное ДУ первого порядка
называется однородным?
Q x 0
3. К какому ДУ приводится линейное однородное
уравнение ?
ДУ с разделяющимися переменными
4. Каким метод решается линейное неоднородное ДУ ?
Методы Бернулли
5. В чем заключается метод Бернулли?
В замене
y UV

3.

Проверка ДЗ:
yy 2 0 y 0 2
dy
y 2 0
dx
dy
y 2 dx
dx
ydy 2dx
y 4x C
2 4 0 C
C 4
y 4x 4
ydy 2dx
y2
2 x C
2
y 2 4 x C
2
y 4 4x

4.

2
xy y x cos x
y U V V U
y U V
dV
dx
V x
ln V ln x
x (U V V U ) U V x 2 cos x
V x
y
y
xU V xV U U V x 2 cos x
(* * *)
xU V U ( xV V ) x 2 cos x (* * *)
xU x x 2 cos x
x 2U x 2 cos x
dU
cos x
dx
( xV V ) 0
x
dV
V 0
dx
dV
x
V
dx
dV dx
V
x
dx
dU cos xdx
dx
xV
dU cos xdx
U sin x C
y U V
y (sin x C ) x

5.

Простейшие ДУ второго порядка
Общий вид:
y f x
Алгоритм решения:
y f x dx F x C1
y F x C1 dx Ф( F ( x)) C1 x C2 общее решение
Пример 1: Найдите общее решение дифференциального уравнения y sin 2 x
y sin 2 x
1
sin
kxdx
cos kx C
k
1
cos
kxdx
sin kx C
k
1
y sin 2 xdx cos 2 x C1
2
1 1
1
1
y cos 2 x C1 sin 2 x C1 x C2 sin 2 x C1 x C2
2 2
4
2
1
y sin 2 x C1 x C2
4

6.

Простейшие ДУ второго порядка
Пример 2. Найдите частное решение дифференциального уравнения y 18 x 2
если y=3 при х=0 и y=9 при х=1.
y 18 x 2
y 18 x 2 dx 9 x 2 2 x C1
y 9 x 2 2 x C1 dx 3 x 3 x 2 C1 x C2
y 3 x 3 x 2 C1 x C2 общее решение
x 0 и y 3 3 3 0 0 C1 0 C2 C2 3
x 1 и y 9 9 3 1 C1 3 C1 2
y 3 x 3 x 2 2 x 3 частное решение

7.

ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид:
y p y g y f (x)
у – искомая функция; p, g – постоянные величины
Если f(х)=0, то уравнение называется линейным однородным
(мы будем рассматривать данный вид уравнения).
Если f (х) не равно 0, то уравнение называется линейным
неоднородным.

8.

ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами
y p y g y 0
Алгоритм:
1) Заменяем
y e
kx
k - некоторое число
y k e
y k e
2 kx
kx
kx
3) Подставляем в уравнение k e p k e g e 0
kx
2) Находим производные
y
y
4) Приводим уравнение к виду
2
kx
y
k p k g 0
2
характеристическое уравнение
5) Решаем квадратное уравнение, находим
k1 и k2
корни характеристического уравнения

9.

Если k1 k2
(вещественные числа),
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e
k1 x
C2e
k2 x
Если k1 k2 k ( вещественные числа)
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e kx C2 x e kx
Если k1 i;
k2 i ( комплексные числа)
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e cos x C2e sin x
x
x

10.

Пример 1: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y 5 y 4 y 0
y e
kx
y k e
kx
y k e
2
k e 5 k e 4 e 0
2
kx
kx
D 25 16 9
k1 4
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
kx
k 2 5k 4 0
kx
(Решаем квадратное уравнение)
k1, 2
5 3
4;1
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k2 1
k1 k2
y C1e C2e
x
4x
y C1e
k1 x
C2e
k2 x

11.

Пример 2: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y 6 y 9 y 0
y e
kx
y k e
kx
y k e
2
k e 6 k e 9 e 0
2
kx
kx
k 2 6k 9 0
D 36 36 0
k1 k 2 k 3
kx
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
kx
(Решаем квадратное уравнение)
k1, 2
6
3
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k1 k2 k
y C1e C2 x e
3x
3x
y C1e kx C2 x e kx

12.

Пример 3: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y e
kx
y 2 y 2 y 0
kx
2
kx
y k e
y k e
k e 2 k e 2 e 0
2
kx
kx
k 2 2k 2 0
D 4 8 4
k1 1 i
k2 1 i
1
1
kx
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
(Решаем квадратное уравнение)
D
4 2i
k1, 2
2 2i
1 i
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k1 i;
k2 i
y C1e cos x C2e sin x
x
y C1e x cos x C2e x sin x
x

13.

Домашнее задание
Решите уравнения:
1.
y 36 x 12
2.
y cos x
Ответ:
Ответ:
y cos x C1 x C2
y C1e C2e
3.
y 5 y 6 y 0
Ответ:
4.
y 4 y 4 y 0
Ответ:
5.
y 6 y 13 y 0
y 6 x 3 6 x 2 C1 x C2
3x
2x
y C1e 2 x C2 x e 2 x
Ответ:
y C1e3 x cos 2 x C2e3 x sin 2 x
3
2