Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1.

Линейные однородные
дифференциальные уравнения
(ЛОДУ) 2 порядка с постоянными
коэффициентами

2.

Проверка ДЗ
y 36 x 12
y 18x 2 12 x C1
y 6 x3 6 x2 C1 x C2

3.

Проверка ДЗ
y cos x
y sin x C1
y cos x C1 x C2

4.

Проверка ДЗ
x
y y e
y U V
y U V V U
U V V U U V e x
U V U(V V) e x (* * *)
V V 0
dV
V
dx
dV
dx
V
ln V x
V ex
U e x e x (* * *)
U 1
U x C
y ( x С) e
x

5.

Решите квадратные уравнения
x 2 5x 4 0
D 25 16 9
x1, 2
5 3
4;1
2
x 2 6x 9 0
D 36 36 0
x1, 2
6
3
2
x 2 2x 2 0
D 4 8 4
D
x1, 2
4 2i
2 2i
1 i
2

6.

ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид:
y p y g y f (x)
у – искомая функция; p, g – постоянные величины
Если f(х)=0, то уравнение называется линейным однородным
(мы будем рассматривать данный вид уравнения).
Если f (х) не равно 0, то уравнение называется линейным
неоднородным.

7.

ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами
y p y g y 0
Алгоритм:
1) Заменяем
y e
kx
k - некоторое число
y k e
y k e
2 kx
kx
kx
3) Подставляем в уравнение k e p k e g e 0
kx
2) Находим производные
y
y
4) Приводим уравнение к виду
2
kx
y
k p k g 0
2
характеристическое уравнение
5) Решаем квадратное уравнение, находим
k1 и k2
корни характеристического уравнения

8.

Если k1 k2
(действительные числа),
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e
k1 x
C2e
k2 x
Если k1 k2 k (действительные числа)
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e kx C2 x e kx
Если k1 i ;
k2 i
( комплексные числа)
то общее решение однородного уравнения имеет вид:
y C1e cos x C2e sin x
x
x

9.

Пример 1: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y 5 y 4 y 0
y e
kx
y k e
kx
y k e
2
k e 5 k e 4 e 0
2
kx
kx
D 25 16 9
k1 4
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
kx
k 2 5k 4 0
kx
(Решаем квадратное уравнение)
k1, 2
5 3
4;1
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k2 1
k1 k2
y C1e C2e
x
4x
y C1e
k1 x
C2e
k2 x

10.

Пример 2: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y 6 y 9 y 0
y e
kx
y k e
kx
y k e
2
k e 6 k e 9 e 0
2
kx
kx
k 2 6k 9 0
D 36 36 0
k1 k 2 k 3
kx
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
kx
(Решаем квадратное уравнение)
k1, 2
6
3
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k1 k2 k
y C1e C2 x e
3x
3x
y C1e kx C2 x e kx

11.

Пример 3: Найдите общее решение дифференциального уравнения
y e
kx
y 2 y 2 y 0
kx
2
kx
y k e
y k e
k e 2 k e 2 e 0
2
kx
kx
k 2 2k 2 0
D 4 8 4
k1 1 i
k2 1 i
1
1
kx
(Заменяем)
(Подставляем в уравнение)
(Решаем квадратное уравнение)
D
4 2i
k1, 2
2 2i
1 i
2
(Подставляем в общий вид решения, в зависимости от К)
k1 i ;
k2 i
y C1e cos x C2e sin x
x
y C1e x cos x C2e x sin x
x

12.

Домашнее задание
Решите уравнения:
2.
y 5 y 6 y 0
y 4 y 4 y 0
3.
y 6 y 13 y 0
1.
Ответ:
y C1e C2e
Ответ:
y C1e 2 x C2 x e 2 x
3x
2x
Ответ:
y C1e3 x cos 2 x C2e3 x sin 2 x
3
2