Тригонометрические формулы

1. Тригонометрические формулы

Тригонометрические тождества.
Формулы сложения.
Формулы двойного аргумента.
Формулы половинного аргумента.
Формулы приведения.
Формулы преобразования суммы и
разности в произведение.
7. Формулы преобразования
произведения в сумму.
1.
2.
3.
4.
5.
6.

2.

Проверь
себя!
sin sin 2 sin
sin sin 2 sin
2
cos cos 2 cos
2
cos
cos
2
cos
2
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
sin( )
tg tg
cos cos
sin( )
tg tg
cos cos
Примеры!

3.

0
0
0
0
105
75
105
75
1) cos1050 cos 750 2 cos
cos
2 cos 900 cos150 0;
2
2
11 5
11 5
11
5
2
12
12
12
12
2) cos
cos
2 sin
sin
2 sin
sin
12
12
2
2
3
4
3 2
6
2
;
2 2
2
0
0
0
0
105
165
105
165
3) sin 1050 sin 1650 2 sin
cos
2 sin 1350 cos( 30) 0
2
2
2 3
6
0
0
0
0
0
2 sin( 180 45 ) cos 30 2 sin 45 cos 30 2
;
2 2
2
5 7
sin
5
7
sin
12 12
4) tg
tg
0.
5
7
5
7
12
12 cos
cos
cos
cos
12
12
12
12

4.

1) Вычислите без таблиц : sin 150 sin 750.
2
6
6
2
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
2
2
2
2
2) Вычислите без таблиц : sin 150 sin 750.
2
6
6
2
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
2
2
2
2
3
2
3) Вычислите без таблиц : cos
cos .
5
5
А) 0; Б ) 2 cos ; В) 2 sin ; Г ) 2 sin .
5
5
5
3
2
4) Вычислите без таблиц : cos
cos .
5
5
А) 0; Б ) 2 cos ; В) 2 sin ; Г ) 2 sin .
5
10
10

5.

Проверь
себя!
sin( a ) sin a cos cos a sin
sin( a ) sin a cos cos a sin
cos cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg
сtg сtg 1
ctg ( )
сtg сtg
tg tg
tg ( )
1 tg tg
сtg сtg 1
ctg ( )
сtg сtg
Примеры!

6.

1) sin 2100 sin( 1800 300 ) sin 1800 cos 300 cos 1800 sin 300
3 1
1
0
2 2
2
2) cos 750 cos 450 300 cos 450 cos 300 sin 450 sin 300
2 3
2 1
2 2
2 2
6 2
4
0
0
tg
180
tg
45
0 1
0
0
0
3) tg 225 tg 180 45
1
0
0
1 tg180 tg 45
1 0 1
0
0
сtg
90
сtg
45
1 0 1 1
0
0
0
4) ctg135 tg 90 45
1
0
0
сtg90 сtg 45
0 1

7.

8
8
1) Вычислите без таблиц : sin
cos sin cos .
7
7
7
7
2
6
А)
; Б ) 0; В)
; Г ) 1.
2
2
2) Вычислите без таблиц : cos150.
2
6
6
2
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
2
2
2
2
3) Вычислите без таблиц : tg1500.
А)
3
1
3; Б ) 1; В)
; Г)
.
2
3
4) Вычислите без таблиц : ctg
12
.
А) 4 3; Б ) 0; В) 2 3; Г ) 2 3.

8.

Проверь
себя!
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
2
2
2tg
tg 2
1 tg 2
ctg 1
ctg 2
2ctg
2
Примеры!

9.

3 1
3
1) sin 120 sin 2 60 2 sin 60 cos 60 2
2 2
2
0
0
0
0
2) cos 240 cos 120 sin 120 cos 60 sin 60
0
2
0
2
0
2
0
2
2 sin 60
0 2
0
cos 60
0 2
2
3 1 3
1
3 1
2
2
4 4 4 4 4
2
0
2
tg
60
2 3
2 3
0
3)tg120
3
2
2
0
1 tg 60
2
1 3
2
3
1
1
3
ctg 2 1 2
3
4
4) если ctg
, то ctg 2
2
2ctg
12
3
3
2
2

10.

3
1) Вычислить sin 2 , если sin 0.6,
2
А) 1,92; Б ) 0,96; В) 0,96; Г ) 1.
2) Вычислить cos 2 , если cos 0,3.
А) 0,82; Б ) 1; В) 0,82; Г ) 1,64.
3
3) Вычислить ctg 2 , если сtg
.
2
1
3
3 3
3
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
16
25
12
8 3
1
4) Вычислить tg 2 , если tg .
2
3
3
4
2
А) ; Б ) ; В) ; Г ) .
4
8
3
3

11.

Проверь
себя!
1 cos
sin
2
2
2
1 cos
cos
2
2
2
1 cos
tg
2 1 cos
2
1 cos
ctg
2 1 cos
2
Примеры!

12.

3 2
3
1
0
1
cos
30
2 2 2 2 3
1) sin 2 150
2
2
2
4
2)2 cos 1 2
8
2
4 1 cos 2
2
4
2
1 cos
1 cos
3)если cos 0,6 и 0 , то tg
2
2
1 cos
0,4
1,6
1 1
4 2
1 cos
1 0,02
4)если cos 0,02 и 0 , то cos
0,7
2
2
2

13.

3
1) Вычислить sin , если sin ,
2
5 2
А) 0,1; Б ) 2 0,1; В) 3 0,1; Г ) 0,1.
3
2) Вычислить cos , если sin ,
2
5 2
0,1
0,1
А) 0,1; Б )
; В)
; Г ) 0,1.
2
3
3
3) Вычислить tg , если sin ,
2
5 2
1
3
3 3
А) ; Б )
; В)
; Г ) 3.
3
16
25
3
4) Вычислить ctg , если sin ,
2
5 2
3
1
2
А) ; Б ) 3; В) ; Г ) .
4
3
3

14.

sin 2 cos 2 1
Проверь
себя!
sin a 1 cos2 a
cos a 1 sin 2 a
tga ctga 1
1
tga
ctga
1
ctga
tga
1 tg 2 a
1
cos 2 a
1 ctg 2 a
1
sin 2 a
Примеры!

15.

2
3
1) Вычислите cos a, если sin a и a
5
2
5
21
5
2
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
5
21
2
21
2
3
2) Вычислите tga, если sin a и a
2
2
21 5
2 2
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
2
2
21
21
2
3
3) Вычислите ctga, если sin a и a
5
2
21
2
2
21
А)
; Б)
; В)
; Г)
.
2
2
21
21
3
4) Вычислите tga, если cos a и a
5 2
4
3
4
3
А) ; Б ) ; В) ; Г )
.
3
4
3
4

16.

1) Доказать, что при a k , k Z справедливо равенство 1 ctg 2 a
cos 2 a sin 2 a cos 2 a
1
1 ctg a 1
2
2
sin a
sin a
sin 2 a
2
2) Вычислить sin a, если cos a
3
3
и a
5
2
Воспользуе мся формулойм sin a 1 cos 2 a
3
Т .к. a
III квадрант, то sin a 0
2
9
4
sin a 1 cos 2 a 1
25
5
3) Вычислить ctga, если tga 13
1
По формуле ctga
находим :
tga
1
1
ctga
tga 13
1
sin 2 a

17.

sin( a 2 k ) sin a
Проверь
себя!
sin a cos a
2
sin a sin a
cos( a 2 k ) cos a
k Z
sin a cos a
2
sin a sin a
3
3
a cos a
sin
a cos a sin
2
2
cos a sin a
2
cos a sin a
2
cos a cos a
cos a cos a
3
cos
a sin a
2
3
cos
a sin a
2
tg (a k ) tga
tg a ctga
2
ctg a tga
2
ctg (a k ) ctga
tg a ctga
2
сtg a tga
2
k Z
Примеры!

18.

1) Вычислите без таблиц sin 135
2 2
2
2
А)
; Б)
; В ) 3; Г )
.
2
2
2
0
2) Вычислите без таблиц cos120
1
1
2
1
А) ; Б )
; В)
; Г) .
2
2
2
2 2
7
3) Вычислите без таблиц sin
6
1
2
1
21
А) ; Б )
; В) ; Г )
.
2
2
2
21
7
4) Вычислите без таблиц cos
3
4
1
1
3
А) ; Б ) ; В) ; Г )
.
3
2
2
4
0

19.

1)
Вычислить sin 9300
1
sin 930 sin( 3 360 150 ) sin 150 sin( 180 30 ) sin 30
2
11
2) Вычислить tg
3
11
tg
tg 4 tg tg 3
3
3
3
3
13
Вычислить
tg
3)
4
13
tg
tg 3 tg 1
4
4
4
0
0
0
0
4) Вычислить cos 15
4
15
2
cos
cos 4 cos cos
4
4
4
2
4
0
0
0

20.

Проверь
себя!
1
sin cos sin sin
2
1
sin sin cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
Примеры!

21.

5
4
6
1) 4 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 1
12
12 12
12
2
3
2 ) Доказать тождество: 4 sin sin sin sin 3 .
3
3
2
1
2 sin sin cos 2 cos
cos 2
3
2
3
3
2 sin cos 2 sin
2 sin cos 2 sin 3 sin
sin 3 sin sin a sin 3a
Правая часть равна левой части

22.

1) Представить произведение в виде суммы sin 11 sin 13
cos 240 cos 20
cos 20 cos 240
2
А)
; Б)
; В) 0; Г )
.
0
2
2
cos 24 1
2) Представить произведение в виде суммы cos150 cos 30
0
0
cos120 cos180
sin 120 1
cos180 cos120
А) 0; Б )
; В)
; Г)
.
2
2
2
3) Представить произведение в виде суммы
А)
cos( a ) cos( a )
cos 2a cos 2
cos 2a cos 2
2
; Б)
2
cos 2a sin
; В) 0; Г )
.
2
4) Представить произведение в виде суммы
cos( a ) sin( a )
sin 2a sin 2
sin 2a sin 2
1 sin 2
А)
; Б ) 0; В)
; Г)
.
2
2
2