Тригонометрия. Радианная мера угла. Тригонометрический круг. Формулы приведения

1.

УРОК 1

2.

Радианная мера угла
Единичной окружностью
называется окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным единице.
Центральный угол, опирающийся
на дугу, длина которой равна радиусу
окружности, называется углом в один
радиан.
В
R
R
0
R
А
1 рад
1 радиан =
АОВ
П
1
радиан
180
0
Длина
АВ = ОА =R
180 0
1 радиан
57 0
П

3.

Положительные и отрицательные углы в окружности
Начало отсчета углов - в точке (1;0)
У
+
I
0
III
R=1
+
-
(a >0)
Ро х
0Ро
IV
Рa (a >0)
0Рa
(a >0)
повернули на угол a
против часовой стрелки
-
II
Рa
ОРо
ОРa
повернули на угол
по часовой стрелки
(a >0)
Угол поворота радиуса ОРо против часовой
стрелки считается положительным,
а по часовой --- отрицательным

4.

Определение косинуса и синуса
Косинусом угла a называется ордината
точки единичной окружности, полученной
при повороте точки (1;0) на угол a радиан
вокруг начала координат.
У
А
sin a
0
a
cos a
(1;0)
Х
Синусом угла a называется абсцисса
точки единичной окружности,
полученной при повороте точки (1;0) на
угол a радиан вокруг начала координат

5.

Тригонометрические функции угла и числового аргумента
Определение тригонометрических функций
Через единичную
Через произвольную
окружность (радиус равен 1) окружность
Рa (х;у)
у
0
В
Рa (х;у)
у
a
Через прямоугольный
треугольник (для острых
углов
c
a
х
0
a
х
А
a
b
Sin a = y - ордината точки Р
Соs a = х - абсцисса точки Р
у sin a
х cos a
х cos a
ctga
у sin a
tga
у
R
х
cos a
R
у
tga
х
х
ctga
у
sin a
а
с
b
cos a
c
a
tga
b
b
ctga
a
sin a
С

6.

Представление тангенса в единичной окружности
А(1;уА )
у
АР0 - ось тангенсов
А Р0
a
Р0
х
1
ОУ
sin a
tga
cos a
Тангенсом угла a называется отношение
синуса угла a к его косинусу
По общему определению
уA
tga У A
1
---
ордината соответствующей точки оси
тангенсов

7.

Представление котангенса в единичной окружности
У
В (хВ;1)
С
a
0
Х
СВ -- ось котангенсов
СВ
Ох
cos a
ctgx
sin aa
Котангенсом угла a называется
отношение косинуса угла a к его синусу
По общему определению ctga
xB
X B --- абсцисса соответствующей точки оси
1
котангенсов

8.

Знаки тригонометрических функций
cosa
Sina
II
I
+
_
+
I
+
+
_
_
_
II
III
IV
II
III
III
_
+
+
IV
I
Сtg a
_
IV
tg a

9.

Тригонометрический круг

10.

Значения тригонометрических функций некоторых углов
Единичная окружность соответствует 2p радиан
(1800 = p радиан)
=>
1 радиан = 180 0 /p ~ 57 0

11.

Тригонометрические функции противоположного аргумента
cos( a ) cos a
sin( a ) sin a
tg ( a ) tga
ctg ( a ) ctga

12.

Формулы приведения
Аргумент x
Приводимая
функция
2п+α
п/2+α
п +α
3/2п+α
2п-α
Sinx
Cosx
Tgx
Ctgx
мнемоническое правило:
п/2
п
Если аргумент изменяется на
угол, кратный p ,
название функции не меняется.
Если аргумент изменяется на
угол , кратный p/2 (но не кратный
p) , название функции меняется
на противоположное.
Знак новой функции
определяется знаком исходной,
считая , что a ( 0 , p/2).
0
3п/2

13.

Формулы приведения
Аргумент x
Приводимая
функция
2п+α
п/2+α
п +α
3/2п+α
2п-α
Sinx
Cosx
Tgx
Ctgx
+sint
+cost
+tgt
+ctgt
+cost
- sint
- ctgt
- tgt
-sint
-cost
+tgt
+ctgt
- cost
+sint
-ctgt
-tgt
-sint
cost
-tgt
-ctgt
мнемоническое правило:
п/2
п
Если аргумент изменяется на
угол, кратный p ,
название функции не меняется.
Если аргумент изменяется на
угол , кратный p/2,
название функции меняется на
противоположное.
Знак новой функции
определяется знаком исходной,
считая , что a ( 0 , p/2).
0
3п/2

14.

Домашнее задание 1

15.

УРОК 2

16.

Тригономе
трические
формулы

17.

Упражнения (д.з. – чётные номера)