Теория напряженного и деформированного состояний

1. Теория напряженного и деформированного состояний

2. Анализ напряженного состояния

Твердое тело реагирует на внешнее воздействие целиком, как сплошная
среда. Но реакция в каждой точке тела будет различной.
Математическое описание этой реакции в выбранной точке тела
зависит от выбора системы координат, связанной с этой точкой.

3. Напряжения на наклонной площадке при растяжении стержня

Fx
Fn
cos
Спроектируем все силы на направление нормали n,
n Fn x Fx cos 0 ,
Спроектируем все силы на направление оси t,
n x cos2
nt Fn x Fx sin 0 ,
nt x sin cos

4. Напряжения на наклонной площадке при растяжении стержня (продолжение)

x cos ( )
n( )
nt ( )
2
x cos ( ) sin ( )
Нап ряж ен и я, М Па
100
50
0
0
20
40
60
80
Угол наклона площадки, градусы
Нормальное напряжение
Касательное напряжение
100

5. Напряженное состояние в произвольной точке

x yx zx
xy y zy
xz yz z
Касательные напряжения должны удовлетворять условиям равновесия –
сумма обусловленных ими вращающих моментов должна быть равна нулю.
Из этого следует закон парности касательных напряжений:
xy yx
yz zy zx xz .
Касательные напряжения, действующие на взаимно
перпендикулярных площадках, равны и направлены либо к
общему ребру, либо от ребра.

6. Теория упругости доказывает, что

1. Всегда существуют площадки, на которых отсутствуют касательные
напряжения.
2. Эти площадки взаимно перпендикулярны и называются главными
площадками.
3. На трех главных площадках действуют только нормальные
1
напряжения, которые называют главными. Их обозначают как
2
и
3 , причем, по соглашению,
y
y1
1 2 3 .
2
1
х
z
xy
z1
3
x1
,

7. Теория упругости доказывает, что (продолжение)

1. Напряжения 1
и 3 - это экстремальные значения нормальных
напряжений для всех площадок, проходящих через данную точку.
2. Тензор главных напряжений
123 имеет диагональный вид.
3. Наибольшие касательные напряжения
max
1 3
2
max
и действуют на площадке, наклоненной к 1
равны
и 3
на 45°.
3
1
0
0
123 0
2
0
0
0
3
max
1
z1
3
x1
1

8. Классификация напряженных состояний

Трехосное или объёмное
1 0
2 0
3 0
Двухосное или плоское
1 0
2 0
3 0
max 2 min 3
1 0
2 0
3 0
max 1 min 3
1 0
2 0
3 0
max 1 min 2
Одноосное или линейное
1 0
1 0
2 0
2 0
3 0
3 0
Для уверенного определения типа напряженного состояния
необходимо знать значения всех трех главных напряжений.

9. Анализ двухосного напряженного состояния

Fy
Fx
Fn
cos sin
Спроектируем все силы на ось n
n Fn x Fx cos y Fy sin 0
n
Спроектируем все силы на ось t
nt Fn x Fx sin y Fy cos 0
x y
2
nt
x y
2
x y
2
cos 2
sin 2

10. Круг Мора

max x
n
min y
max min
2
nt
max min
2
max min
2
cos 2
sin 2
A
max min
R
max min
2
2

11. Общий случай анализа двухосного НС

xy yx
(1) n
x y
(2) nt
2
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2

12. Вычисление главных напряжений

Допустим, что наклонная площадка главная, т.е. nt 0 .
Из уравнения (2) получаем направление главного напряжения
tan 2
2 xy
x y
Уравнение (1) приводится к следующему виду:
n
x y
2
n max
x y
max min
2
x y
2
xy
2
x y
2
2
x
y
2
2
xy

13. Частные случаи: растяжение и сжатие

14. Частные случаи: чистый сдвиг

15. Анализ трехосного напряженного состояния

• Рассмотрим частный случай трехосного НС
max min
x y
2
1 max max , min , z
2 min max max , min , z
3 min max , min , z
2
x y
2
xy
2

16. Круги Мора для трехосного НС

Поскольку главные напряжения – это экстремальные
значения напряжений для данного напряженного
состояния, то точки, соответствующие всем
возможным описаниям данного напряженного
состояния, лежат в закрашенной области, включая
точки на всех трех окружностях