Конденсированные системы

1.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННЫХ
СИСТЕМ
(ОСНОВЫ КРИОФИЗИКИ, ЧАСТЬ 1)
,
Кафедра низких температур - Центр высоких технологий
МЭИ (ТУ)
Основные вопросы курса – что есть вещество при низких
температурах, как и почему оно так ведет себя и можно ли это
использовать для практических целей нашей цивилизации?

2.

ПРИНЦИПЫ ФИЗИКИ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ
1.1. Что такое конденсированное тело?
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е:
Конденсированное тело - система частиц,
взаимодействием между которыми пренебречь
нельзя (система сильно взаимодействующих частиц)
Кристаллы – конденсированные тела с дальним порядком (металлы, NaCl и т.п.)
Аморфные тела - конденсированные тела с ближним порядком (смолы, стекла и т.д.)
a
a
Дальний порядок кристаллы
Ближний порядок –
аморфные тела

3.

1.2 Классификации конденсированных
систем
кристаллы
твердые тела
аморфные твердые тела
жидкие кристаллы
конденсированные тела
квантовые
кристаллы
стекла
наноструктуры
(нанокристаллы)
жидкости
неупорядоченные сплавы
квантовые жидкости
квантовые
жидкости истинных
частиц
квантовые
жидкости
квазичастиц

4. A. Классификация связей частиц

1.3 ТИПЫ КОНДЕНСИРОВАННЫХ ТЕЛ
(ПО ХАРАКТЕРУ СВЯЗЕЙ ЧАСТИЦ)
A. Классификация связей частиц
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ
КОВАЛЕНТНЫЕ
МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ
ВОДОРОДНЫЕ
Все виды связей связаны с различной электронной
структурой атомов и молекул и изменением такой структуры
после конденсации и образования твердого тела
ИОННЫЕ

5.

Б. Виды конденсированных тел по типу распределения
электронного заряда
18+
18+
18+
18+
18+
18+
18+
18+
17+
19+
17+
19+
19+
17+
19+
17+
Ar
KCl
6+
6+
6+
6+
19+
19+
19+
19+
6+
6+
6+
6+
19+
19+
19+
19+
C
K

6.

1.5. Параметры конденсированных тел
1.5.1. Параметр взаимодействия
<< 1, U << K - газы
μ=
1, U K - конденсированные
тела
1.5.2. Параметр де Бройля
ε
Т
=
3
k T ε
= p 2 /2m
кин
2 B
p 2 /2m = 2 k 2 /2m = 4π 2 2 /2mλ 2 = 2π 2 2 /mλ 2
λ B = (4π 2 2 /3mk B T) 1/2
λ = 2π / k
Для атомов Cu :
если << 1(a ) - классический объект,
B
если 1(a ) - квантовый объект.
B
λ B 10 -8 см, a 5 10 -8 см
Для электронов :
λ B 10 -7 см, a 10 -8 см (α 1)

7.

1.5.3. Параметр де Бура
1
ε = ε s , ε s = ω n s , причем n s = 0,1,2,...
2
s
ε = ω/2 - энергия нулевых колебаний параметр де Бура (1946г.)
0
U( x ) = kx 2 / 2
md 2 x / dt 2 = - U(x) / x
2 = k / m (a 0 / a ) 2
2
m
a 0 a 0 ( / m )1 / 2
U(x) m x / 2
2 2
а – межатомное расстояние; m – масса
атома (иона); u0 – некоторая характерная
величина, определяющая силу
взаимодействия
(He 4 ) 2,7, (He 3 ) 3,1
(Xe ) 0,06, ( Ne) 0,6.
Λ=
a(2mu 0 )1/2

8.

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
П.4.1. Статистическое описание систем многих частиц
N 1023 см -3
Точное описание требует знания набора N значений q, p
. Если даже они известны, то
через мгновение – необходимо знать снова эти величины - слишком подробное описание!!!
Пусть система находится в различных состояниях с энергией n , тогда имеет
место распределение Гиббса для вероятности обнаружить систему (в целом) в
состоянии n:
w n ( ) = A exp( - n / k BT)
где A определяется условием нормировки:
w
n
=1
A -1 = exp( - n / k BT)
n
n
Для систем классических частиц:
= (q, p) = K ( p ) U (q ) K ( p ) U (q )
dw = A exp - K(p) U(q) / k BT dqdp = A exp - K(p) / k BT - U(q) / k BT dqdp
dw p = a exp - K(p) / k BT dp
dw q = b exp - U(q) / k BT dq
Следовательно, вероятности распределения по импульсам и по координатам –
независимы!
Дж.Гиббс (1839-1903)

9.

П.4.2. Классическая статистика (статистика Максвелла-Больцмана)
П.4.2.1. Классическое распределение по импульсам (скоростям) – распределение Максвелла:
В классической статистике – распределения по импульсам и координатам – независимы!!! В свою очередь, распределения по
импульсам не зависят от взаимодействия частиц и от внешних полей!!!
Для всей системы:
N
Вероятности распределения различных частиц по
импульсам независимы!!!
K ( p) = K n ( p)
n =1
dw p = a exp - K(p) / k BT dp = a exp - (p2x p2y p2z ) / 2mk BT dpx dp ydpz
Из условия нормировки:
dw p = 1
и
exp( - x
2
dw p = (2m k BT)-3/ 2 exp - (p2x p2y p2z ) / 2mk BT dpx dp ydpz
)dx = /
-
Или, используя, что p = mv
f ( v)
dw v = (m / 2 k BT)3/ 2 exp - m(v2x v2y v2z ) / 2k BT dvx dv ydvz
f M (v) = (m / 2 k BT)3 / 2 exp - m(v2x v2y v2z ) / 2k BT - распределение Максвелла (1860г.)
vT
v

10.

П.4.2.
Классическая
(продолжение )
статистика
(статистика
Максвелла-Больцмана)
Переход от точного описания состояний к огрубленному – язык функций распределения:
q , p f (p ) f (v )
f (p), f ( v)
- функции распределения по импульсам или по скоростям; теперь величины функций
распределения задают вероятность найти частицу, находящуюся в интервале импульсов
или скоростей
(p; p dp) или ( v, v dv)
Тогда, число частиц, находящееся в состояниях в интервалах скоростей ( v, v dv),
Л.Больцман (1844-1906)
df ( v) = f ( v)dv x dv y dv z
Полное число частиц в единице объема определяется нормировку:
-
-
-
-
df ( v) =
3
2
f ( v)dv x dv y dv z = f ( v)d v f ( v) v dv = 1
Вычисления дают связь параметра нормировки с температурой термостата:
f (v) = (m / 2 k BT)3 / 2 exp - m(v2x v2y v2z ) / 2k BT
- распределение Максвелла
Для вычисления любых усредненных величин (например, термодинамических), можно записать:
A = A f ( v)dv

11.

П.4.2.
Классическая
(продолжение )
статистика
(статистика
Максвелла-Больцмана)
Пусть частицы не взаимодействуют (параметр взаимодействия
мал, т.е. U/K<<1) – это т.н. идеальный газ
V
Задача определения уровней энергии тела как целого
~n
определение уровней энергии одной частицы
(одночастичное приближение!!!)
Если n- kчисло частиц идеального газа , находящихся в k- ом состоянии,
nk
то
носят название
чисел заполнения. Вычислим среднее значение
nk <<1. Используя распределение Гиббса, получим:
при условии
nk
nk = Aexp( - k / k BT )
- распределение
Больцмана, 1877г.
где A определяется соотношением нормировки:
n
k
k
=N

12.

П.4.3. Квантовая статистика
В системе многих квантовых частиц возникают новые типы статистик. Несмотря на отсутствие
прямого взаимодействия в системе квантовых частиц, имеют место так называемые обменные
эффекты, связанные со спином частиц. Если имеется N квантовых частиц в заданном объеме при
температуре T, то их равновесное распределение описывается соотношением:
-1
n = exp (p ) - / k B T 1
Знак «+» соответствует частицам с полуцелым спином (фермионам), знак «-» - частицам с целым спином (бозонам), μ химический потенциал, определяемый из условия:
N
g
=
V (2 ) 3
d 3p
( )d
exp (p ) - / k BT 1 = 0 exp - / k B T 1
Энергия системы квантовых частиц и их термодинамический потенциал выражаются соотношениями
1
p 2 = 2mε
ν(ε) = gm 3/2ε 1/2 / 2 π 2 3 - плотность числа состояний, получаемая интегрированием по сфере
где
, g = 2σ , где
- спин
частиц (1/2, 3/2,… - для фермионов и 0, 1,2,… - для бозонов).
E
=
V
εν(ε)dε
exp ε - μ /k
0
B
T 1
= k B T ( ) ln 1 exp( - ) / k B T d
V
0

13.

П.4.4. Квантовая статистика Ферми-Дирака
В каждом энергетическом
состоянии – две частицы
с противоспинами
-1
n F = exp (p) - / k BT 1
квантовое распределение Ферми-Дирака
П.6.3.1. Фермионы (ферми-газ) и слабовозбужденные состояния при низких
температурах
nF
1, F
nF =
при T = 0
0
,
F
T=0
1
ε F = (6π 2 n/g) 2/3 /( 2 /2m) pF = 2mε F = (6π 2n/g) 1/3 v F = p F / m
F
nF
pF называют фермиевским импульсом (заметим, что
он не зависит от массы ферми-частиц и определяется
только средним расстоянием между ними!)
T 0
Полная энергия ферми-газа при T=0 есть
1
~ k BT
F
E 0 = (2/5)Nε F

14.

П.4.5. Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна
Бозе-газ – газ частиц с целым спином по своему поведению существенно отличается от
ферми-газа. Прежде всего, в одном и том же квантовом состоянии в бозе-газе может
находится любое число частиц
Среднее число бозе-частиц, находящееся в состоянии с энергией i
-1
n B = exp i (p) - / k B T - 1
Если основное состояние (минимальное значение энергии) отвечает условию 0 = 0
Химический потенциал не может быть положительным, иначе некоторые из чисел
n( i ) заполнения окажутся отрицательными, что невозможно, поскольку всегда n B ( i ) 0
0
(- / k B T)
если отношение
может иметь порядок N
всегда для бозе-частиц
достаточно мало, то число бозе-частиц на уровне 0 = 0

15.

3. ЭЛЕКТРОННАЯ ПОДСИСТЕМА
3.1. Вырожденный электронный газ
1. Электроны – фермионы – полуцелый спин
Дирака
2.
0
k ( r ) = k exp( ik r )
квантовая статистика Ферми -
- волновая функция свободного электрона
3. В объеме V электронные состояния квантованы, что отвечает определенному
значению импульса, принимающего дискретные значения. В импульсном
пространстве квантовые состояния делят весь объем V p = (4 p3F / 3) на микрообъемы
(2 )3 / V так что число разрешенных состояний в импульсном пространстве равно:
4 p3F
p3F
ne = 2
= 2 3 V = Ne
3
3(2 ) / V 3
pF = (3 2 )1 / 3 ( Ne / V)1 / 3 ;
F = (p2F / 2m) = (3 2 )2 / 3 ( 2 / 2m)( Ne / V)2 / 3
F = 2 / pF 2 a
p F = k F

16.

А. Полная энергия электронного газа при нулевой температуре:
E=
V
2 2 3 m
pF
4
p
dp =
0
3(3 ) N e N e
Vp
=
3
10m
10m
V
5
F
2
2 2/3
2
2/3
Б. Давление электронного газа при этом можно найти из соотношения
PV == (2 / 3)E
(3 2 ) 2 / 3 2 N e
P=
5m
V
5/3
Оценим давление вырожденного ферми-газа, приняв, что плотность есть:
N e / V 1019 электронов/см3, тогда получим P 2 105 атм!!!

17.

В. Плотность числа состояний электронов
Введем плотность числа состояний, согласно соотношению:
3/ 2
состояния
1 / 2
Плотность состояний
dN e
V 2m
( ) =
= 2 2
d
2
k BT
f
F

18.

3.2. Термодинамика свободного электронного газа
В общем случае, электронная подсистема, находящаяся при ненулевой температуре,
требует для расчета ее свойств знания энергетического спектра. Поскольку
фактически энергетический спектр электронов в конденсированном теле является
непрерывным (расстояния между отдельными уровнями существенно меньше самих
значений энергии), то можно перейти в исходных формулах для термодинамических
величин от суммирования к интегрированию. Если воспользоваться понятием
плотности числа электронных состояний, то получим (заметим, что интегрирование
распространяется на всю область энергий; в запрещенных состояниях
=0):
(T , N e ) = -k BT ( ) ln exp ( - ) / k BT 1 d
0
Ne = ( ) exp ( - ) / k BT 1 d
0
E = ( )f FD ( )d = (T , Ne ) - õèì è÷åñêèé ï î òåí öèàë
0

19.

Вся термодинамика электронного газа «разыгрывается» в тонком «пояске» вблизи
энергии Ферми !!!
Вычисления дают (см. подробнее учебники):
2
E E ( F ) ( k B T ) 2 ( F )
6
Теплоемкость электронного газа:
2
E
π
ce = k 2BT (ε F )
T 3
Таким образом, в конденсированном теле, где есть свободные электроны, общая
теплоемкость складывается из фононной (закон Дебая) и электронной:
c = c ph ce = T 3 T !!!
ãäå = ( 2 / 3)k B2 ( F ) - ï î ñò î ÿí í àÿ Çî ì ì åðô åëüäà

20.

3.3. Электроны в кристаллической решетке
В кристалле электроны находятся в периодическом потенциале
электрон
Что теперь произойдет с электронами? Какова будет их волновая
функция и каковы их энергетические состояния? Наконец, возможно самое
главное, почему все конденсированные тела, образуясь из газовой фазы, одни
становятся диэлектриками, другие проводниками или полупроводниками?

21.

3.3.1. Теорема Блоха
U( r a) = U( r )
Периодический потенциал
решетки
k (r ) = exp(ik r ) uk (r )
u ( r a) = u k ( r )
k
(Ф.Блох, 1929г.)
- периодическая функция с периодом решетки
Кажется, что теорема Блоха решает вопрос о поведении электронов в кристалле.
Однако, она не дает ответа на вопрос, почему существуют проводники,
полупроводники и диэлектрики…..
3.3.2. Энергетический спектр электронов в кристалле
Одно из важнейших следствий движения электронов в периодическом
потенциале – наличие энергетических щелей (зон запрещенных состояний).
Выясним качественно, откуда появляются такие зоны.

22.

Прежде всего заметим, что для свободных электронов энергия
= 2 k 2 / 2m
является непрерывной функцией волнового вектора;
функции подобных
волновые
электронов - бегущие волны, несущие импульс p = k
Вместе с тем в периодической решетке подобные
волны должны испытывать отражения от
ионных остовов (брэгговские отражения), что
приводит к возможности интерферировать
волнам, отраженным от ионных остовов
ближайших ионов. В этом случае возможно
возникновение стоячих электронных волн, что
означает отсутствие при определенных условиях
на длины этих волн решений уравнения
Шредингера даже в виде блоховских волн. Таким
образом, энергия электронов в кристалле также,
как и в атоме, имеет разрешенные и
запрещенные уровни энергии, только в
кристалле энергия электронов в может занимать
непрерывные зоны разрешенных состояний,
разделенных зонами запрещенных состояний.

23.

Образование запрещенных зон в кристалле
Таким образом, в кристалле
электроны могут не иметь при
определенных импульсах
ε
никаких энергетических
состояний –
запрещенные зоны
энергий
Зонная картина
энергетического электронного
спектра дает возможность
классифицировать твердые
тела по типу заполнения этих
зон

24.

3.3.3. Классификация твердых тел (по зонной структуре)
- свободные состояния
- занятые состояния
энергия
- уровень Ферми
полупроводник
kBT
металл
диэлектрик
kBT
- ширина запрещенной зоны
Последнюю заполненную зону называют
валентной, а последующую частично
заполненную – зоной проводимости

25.

3.3.3. Классификация твердых тел (по зонной структуре)
А). Диэлектрики
Если последняя из разрешенных зон полностью заполнена электронами, но
все более высокие по энергии зоны целиком свободны, то такие тела называются
диэлектрикам (изоляторами); для типичного изолятора – алмаза:
5,4 эВ 6,3 10 4 K
Б). Полупроводники
В полупроводниках при T=0 валентная зона полностью заполнена, а зона
проводимости – свободна, аналогично диэлектрикам; для типичного
полупроводника Si : 1,17 эВ 1,4 10 4 К
В). Металлы
Если последняя разрешенная зона заполнена неполностью, то в этом
случае даже слабое внешнее электрическое поле вызывает появление
электрического тока. Такие тела носят название металлов; типичными металлами
являются щелочные (Li, Na, K, Cs, Rb), а также благородные (Cu, Ag, Au).

26.

3.4. Кинетические явления в электронном газа (металлы)
Кинетика (физическая кинетика) – наука о неравновесных свойствах
конденсированных тел, т.е. в отсутствии термодинамического равновесия
Температура в точке 1 выше, чем в точке 2
или
2
электрический потенциал
в точке 1 выше, чем в точке 2
1
(нарушенное термодинамическое равновесие !)
Интеграл столкновений (учитывает столкновения
электронов между собой, с фононами, дефектами и
примесями)
Кинетическое уравнение Больцмана для электронов

27.

3.4. Электропроводность электронного газа (металлы)
Вычислим электропроводность электронного газа в металлах. Будем
считать, что во внешнем электрическом поле распределение электронов по
координатам не меняется, а меняется только по импульсам. Тогда из уравнения
Получаем:
eE
f - f0
f
= p
где принято, что
I( f )
f0 – равновесная функция распределения для электронов. Полагая, что
f = f 0 f1 , f1 << f 0
Получаем из
f 0
f1
eE
= p
Но
f0 / p = ( f 0 / )( / p) = v( f0 / )
f - f0

28.

Откуда
f1 = -eEv ( f0 / )
По определению, плотность электрического тока есть
d3 p
j = 2e v f
(2 )3
Тогда
d3 p
d3 p
d3 p
j = 2e v f
= 2e v ( f 0 f1 )
= 2e v f1
=
(2 )3
(2 )3
(2 )3
f
d
-e 2 v(v E) 0 ( )
4
Выше учтено, что равновесная функция распределения – четная функция
энергии и интеграл от нее равен нулю. После интегрирования по углам и учете
того, что f0 / ( - F ) , получаем
1
j = e 2 E v 2 ( )
= F
3

29.

Окончательно получаем известный закон Ома
j = E
где величина электропроводности есть
e2 ne
=
m
При этом учтено, что
( ) ( F ); v 2F = 2 F / m; ne = 2VF /(2 )3 = 2(4 pF2 / 3) /(2 )3
Таким образом, электропроводность зависит только от времени релаксации и
плотности электронов

30.

3.4. Теплопроводность электронного газа (металлы)
T (r ) T (r0 ) (r - r0 ) T
-1
- (r )
1
f e ( , r ) = exp
k BT
-
f
r f e = - e (r )
T (r )
k BT
По определению, тепловой поток имеет вид
d3 p
2 f 0
d
q = 2 v f1
=
v(v
T)
(
)
d
(2 )3
T
4
Откуда получаем
1
q = (- ) 2T T ( F )v 2F
9
Таким образом, теплопроводность электронов в металле есть:
e =
2
9
T ( F )v 2F

31.

1.6. Элементарные возбуждения и энергетический спектр
конденсированного тела
Новая концепция - переход от индивидуальных степеней свобода
отдельных атомов, молекул, электронов, к коллективным степеням
свободы – элементарным возбуждениям (квазичастицам)
ε, p
= ( p)
p = k
суммарная энергия
конденсированного тела:
ε = ω
= 0 св кв
- энергетический спектр элементарных возбуждений (квазичастиц)
Виды энергетических спектров конденсированных тел
p
2
p2
~ p2
p
p
p

32.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (один атом в ячейке)
M u n = Fn i
i
Fni = - α(n, i) (u n - ui )
Fn, n 1 = - α (n, n 1)(u n - u n 1 )
n-1
n
Fn -1, n = - α(n - 1, n) (u n -1 - u n )
n+1
..
M u n = - α (n, n 1)(u n - u n 1 ) - α (n - 1, n)(u n - u n - 1 )
M u n = - α(2u n - u n 1 - u n -1 )
α(n, n 1) = α(n - 1, n) = α
Вид продольных колебаний:
u n = u k exp - iω (k)t ikrn = u k exp - iω (k)t ikna
α
ω (k) =
2 - eika - e - ika
M
2

33.

2. Колебания кристаллической решетки
ω 2 (k) =
2π
1 - cos(ka) = 4 α sin 2 (ka/2 )
M
M
:
При ka << 1 (длинные волны)ω(k)
= kaω0
ω(k) = ωM sin(2ka/2)
где cs = ω0a
Некоторые оценки :
где ωM = 2 α/M
a~10 –8 cм;
= cs k
это обычные звуковые
волны в кристалле
M 2 10 -24 г
акустическая ветвь
α 1,6 10 -12 эрг/10 -16 см 1,6 10 4 эрг/см 2
ω
ωmax 4 1,6 10 4 /2 10 -23 6 1013 сек
f max = ωmax /2π 1013 Гц
k
= c / f max 3 1010 / 1013 = 30 мкм

34.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Исходные уравнения колебаний атомов:
M
m
M
m
M
Решение уравнений колебаний атомов:
u n,l = u 0n,l exp i( -ωt krn,l )
m u n = - α(u n - u l-1 ) - α(u n - u l )
..
..
M u l = - α (u l - u n ) - α (u l - u n 1 )
..
2α
cos(ka)u 0l = 0
m
2α
0
2
0
u l = (ω - 2α / M)
cos(ka)u n = 0
M
u 0n = (ω 2 - 2α /m)
(ω2 - 2α /m)( ω2 - 2α /M) - (4α 2 /mM)cos 2 (ka) = 0
α
ω =
M*
2
α2
4α 2
sin 2 (ka)
2
M * mM
M* = mM/(m M)
ω _ = ω _ (k)
синфазные колебания (в фазе) – акустическая ветвь
ω = ω (k)
асинфазные колебания (в противофазе) – оптическая ветвь

35.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Акустические и оптические моды
ω
ωmax
ω min
- акустическая ветвь
- оптическая ветвь
α
ω =
M*
2
Если ka << 1
ω
2
ω 2_
При ka π/2
ωmax
_
α2
4α 2
2
sin
(ka)
2
M * mM
2α
M *2 (ka) 2 - / a
0
1
M*
mM
На границе ka = π/2
2α
(ka) 2
(m M)
( ω / k) = ( ω _ / k) = 0
1
1
1
1
ω ( π/2) α
2
2
m
M
m
M
2
max
= 2 α/M - максимум
ωmin
2α /m ω _
на акустичес кой ветви
u n /u l =
2α cos(ka)
exp(ika)
2α - mω 2
При k 0
ωmax
2α /M *
/a

36.

2. Колебания кристаллической решетки
2.2.Фононы в конденсированном теле
2.2.1. Понятие фононов
T1 > T2
Тепловое возбуждение
конденсированного
тела
T
1
ε, p
Элементарными возбуждениями
в кристаллических телах являются коллективные
смещения атомов решетки из положений равновесия
Переход от индивидуальных движений атомов к
коллективным степеням свободы
Теорема:
p = k
ε = ω
!!!
В любой системе взаимодействующих атомов элементарными возбуждениями
(если система возбуждена достаточно слабо, например, находится при низких
температурах) являются коллективные смещения атомов из положений равновесия.

37.

2.2.Фононы в конденсированном теле
2.2.2. Фононный газ
ФОНОНЫ (И.Е.Тамм, 1930г.) – низколежащие (по энергетическим уровням)
коллективные возбуждения кристаллической решетки
В конденсированном теле при нулевой температуре фононы отсутствуют
(положение атомов в узлах – основное состояние конденсированного тела - является
вакуумом для фононов), а их появление связано с нагревом тела
С ростом температуры число фононов растет и их число в коллективном движении атомов является весьма
большой (макроскопической) величиной. Таким образом, возникает картина большого числа фононов как
носителей коллективного возбуждения конденсированного тела. Поскольку фононы могут возбуждаться
поодиночке, а значит, имеют целый спин, то они являются бозе-частицами и подчиняются в ансамбле
статистике Бозе-Эйнштейна. Следует также заметить, что введение фононов только тогда имеет смысл, если
они между собой либо вообще не взаимодействуют, либо взаимодействуют слабо. Следовательно, сам ансамбль
фононов можно рассматривать как газ. В этом случае общую энергию конденсированного тела можно
рассматривать как сумму энергии основного состояния – энергия связи атомов в положении равновесия и
энергия нулевых (квантовых) колебаний атомов (вакуум для фононов) и суммы энергий отдельных фононов:
E = E0
ε(k) = E 0
k
ω(k)
k
В кристаллах может быть несколько типов фононов (например, акустические
и оптические, причем при наличии в ячейке j атомов – 3j типов фононов

38.

2.2.2. Фононный газ
В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов
n ik
ветви i с волновым векторомk
-1
-1
n ik = n ik (ε i (k)) = exp ε i (k)/k BT - 1 = exp ωi (k)/k BT - 1
С точки зрения квантовой (да и классической) механики, нормальные колебания решетки
ведут себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Роль координаты
осциллятора играет при этом амплитуда колебания, число фононов является уровнем
.
энергии осциллятора
На каждое колебание приходится средняя энергия
При высоких температурах kk BT
T
B
ε i (k)n ik = ωi (k)n ik
число фононов пропорционально температуре
nik k BT/ ωik
Если
kBT <<
среднее число фононов экспоненциально мало:
n i (k) exp ( ω ik /k B T)

39.

2.2.3. Статистика и плотность состояний фононов
Свободная энергия тела есть:
3Nj
F = F0 k BT ln 1 - exp - ε k /k BT
k
3Nj
k
0
f(ω ) = f(ω ) g(ω )dω
g(ω )
- плотность состояний фононов (число состояний фононов на интервал частот
3Nj
g
ν =1
3j
ν
0
ν
(ω ) = 3Nj
F = F0 k BT ln 1 - exp - ω/k BT g ν (ω )dω
dω ).

40.

2.2.4. Теплоемкость кристаллической решетки
c=-
E
T
E = F - T( F/ T)
3j
E = F0 exp - / k BT g ( ) 1 - exp - / k BT d
-1
=1 0
Нужно знать g (ω ) !!!
ν
1). случай высоких температур ω i (k) << k BT
E == 3jNk BT
c = 3jNk B = 3N 0 k B
закон Дюлонга-Пти

41.

2.2.4. Теплоемкость кристаллической решетки
2) случай низких температур
ων (k) csν k
= 1,2,3
g ν (ω ) = g l (ω ) g t (ω )
Число собственных колебаний в спектре с абсолютными значениями k в интервале
dk
3
V/(2π
Минимальный объем, приходящийся на одно значение
равен k
(V
– )
n(k)
объем тела), следовательно, число мод
в интервале
есть:
dk
n(k)dk = (V/2π 3 )4π k 2 dk
Для акустических фононов ωl = c sl k, ω t = c st k , поэтому получаем
g l (ω )dω = Vω 2 dω /(2π 2 c 3l ), g t (ω )dω = 2Vω 2 dω /(2π 2 c 3t )
(двойка в последней формуле отражает две поляризации поперечных акустических
фононов). Отсюда получаем:

42.

2.2.4. Теплоемкость кристаллической решетки
g(ω ) = g l (ω ) g t (ω ) =
V
2π 2
1
1
3V
3 3 ω2 = 2 3 ω2
2π c
cl c t
3/ c 3 = (c l-3 c -t 3 )
3Vk BT
2
F = F0
ln
1
exp(
ω/k
T)
ω
dω
B
2 3
2π c 0
x3
π4
I=
dx =
exp(x) - 1
15 x = ω/k BT
0
π 2 V(k B T) 4
F = F0 30 3 c 3
4π 2 Vk 4BT3
E
3
c==
=
αT
T
10( c)3
закон Дебая, 1912г.

43.

2.2.4. Теплоемкость кристаллической решетки
Дюлонг-Пти
ΘD = ωD /k B
Дебай
температура плавления). В этом случае,
очевидно, невозможно классическое описание
поведения атомов конденсированного тела.
T/θ D
D , K
- дебаевская частота
Почти всех веществ температура Дебая
существенно ниже температуры плавления.
Вместе с тем, существуют кристаллы (в
частности, He под давлением), когда
выполняется условие D Tm ( Tm
-
D , K
Вещество
ω max = ω D
- температура Дебая
Pb
Na
Al
Li
Si
Be
B
88
150
394
400
625
1000
1250

44.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.5. Фононная теплопроводность диэлектриков
q (тепловой поток)
Th
Tc
L
q = S
Th - Tc
dT
= S
- закон Фурье
L
dx
- коэффициент теплопроводности
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности в конденсированном теле –
фононный механизм переноса тепла
2T
T
2 = c ph
x
t

45.

2.2.5. Фононная теплопроводность диэлектриков
Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
Энергия
Параболический потенциал
гармонического осциллятора
ro
Расстояние
Уравнения движения в приближении
ближайших соседей:
d 2 un
M
= un 1 un -1 - 2un
2
dt
Решения уравнений движения:
un = uo exp -i t exp inka
U0
M
Гармоническое приближение –
фононы не взаимодействуют !!!
a
u n-1
u
n
u n+1
2 = ( / m) 2 - exp -ika - exp ika = 2( / m) 1 - cos ka
2
=
1 - cos ka
1
m
2

46.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
Взаимодействие фононов
k1
k2
k3
Взаимодействие фононов – эффект
негармоничности колебаний
конденсированного тела – нет
параболической потенциальной ямы
U
1 2U
1 3U
2
3
U ( x) U ( x0 )
( x - x0 )
(
x
x
)
(
x
x
)
...
0
0
2
3
x
2 x
6 x
Негармоничность
(ангармоничность)

47.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.5. Фононная теплопроводность диэлектриков
ph =
1
1
c ph c s ph = c ph c s2 ph
3
3
ph
Увеличение концентрации
дефектов
Механизмы рассеяния фононов:
• Рассеяние на границах образца;
• Рассеяние на дислокациях и дефектах;
• Фонон-фононное рассеяние
ph T
границы
0.01
d
дефекты
0.1
фононное
рассеяние
1.0
T / D

48.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.5. Фононная теплопроводность диэлектриков
Уравнение Больцмана для фононов
Функция распределения фононов: f = f(r,p,t)
p
- вероятность фононам иметь в момент времени t импульс
в точке
r
В термодинамическом равновесии : f = f(r,p,t)= f0, т.е. для ферми-частиц – функция
распределения Ферми-Дирака, для бозонов – Бозе-Эйнштейна
В условиях нарушения термодинамического равновесия:
f
f
v r f F p f =
t
t st
Приближение времени релаксации
fo - f
f
=
t st p
f - fo
e
-t
t