Производная функции одной переменной. Лекция №11

1.

Лекция № 11. Производная функции
одной переменной
1. Производная функции одной переменной,
геометрический и механический смысл.
2. Дифференцируемость и непрерывность.
Правила дифференцирования.
3. Производная сложной и обратной
функций.
4. Таблица производных.

2.

1. Производная функции одной переменной,
геометрический
и
механический
смысл.
Механический смысл производной
Пусть вдоль некоторой прямой точка
М движется по закону s=s(t), где
s –
пройденный путь, t – время. Необходимо
найти скорость точки в момент времени t0.

3.

Поэтому под скоростью точки в момент
времени t0 следует понимать предел
средней скорости за промежуток времени
от t0 до t0+ t, когда t 0
s
lim cp lim
.
t 0
t 0 t
Механический смысл производной состоит
в том, что производная от пути равна
скорости. Так же можно доказать, что
производная от скорости равна ускорению

4.

Геометрический смысл производной.
Задача о касательной
Найти уравнение касательной к кривой
y=f(x) в точке M0(x0, f(x0)).

5.

y
f(x0+ x)
М0
f(x0)
A
T
x0
0
Рисунок 1
x0+ x
x

6.

Определение 1.
Предельное положение M0T секущей M0M
при M M0 (если оно существует) назовём
касательной к кривой y=f(x) в точке
M0(x0,f(x0)). Угловой коэффициент равен:
y
y fk ( x0 ) lim
( x x0 ) .
x 0 x
Уравнение касательной имеет вид
y
y y
limlim
fk ( x0 ) ( x(
lim
y y f (fx(0x)0 y)
x
x0x)0.) .( x x0 ) .
x
x0
0 x x x 0 x

7.

Производная функции
Определение 2. Производной функции f(x) в
точке x0
называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента
y
,
lim
x 0 x
когда х 0 (если этот предел существует
и конечен) и обозначается: .
dy
y
f ( x0 ) y
lim
.
dx x 0 x

8.

2. Дифференцируемость и непрерывность.
Правила дифференцирования.
Функция, имеющая производную
(конечную) в каждой точке некоторого
интервала, называется
дифференцируемой в этом интервале,
операция нахождения производной
функции называется
дифференцированием.

9.

Пример 1. Найти производные функций: y = C
;
;;
Имеем
x0 (– ; )=X
и
x 0
f ( x0 ) C
f ( x0 x ) C y f ( x0 x ) f ( x0 )
= С – С = 0;
y
0
C lim
lim
0;
x 0 x
x 0 x
C 0 – производная от постоянной величины
равна нулю.

10.

Теорема 1.
Если функция f(x) имеет конечную
производную в точке x0, то она непрерывна
в этой точке.
Доказательство: По условию теоремы функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0:
y
f ( x0 ) lim
x 0
x
функцию, стоящую под знаком предела, можно представить
как сумму этого предела и бесконечно малой величины:
y
f ( x0 ) ( x)
x

11.

y
f ( x0 ) ( x)
x
где α(Δx) – бесконечно малая величина при x 0
Отсюда:
y f ( x0 ) x ( x) x
При x 0 и y 0
Следовательно, по определению непрерывности
функции, функция y=f(x) непрерывна в точке x0.

12.

Обратная теорема, в общем случае, неверна.
Например, функция y x
непрерывна в точке x=0:
lim
x
0
x 0
Проверим, будет ли эта функция дифференцируема в
данной точке.
x x x
y
y lim
lim
x 0
x x 0
x
x 1, x 0
lim
x 0
x 1, x 0

13.

Теорема 2.
Если U(x) и V(x) имеют конечные производные в
точке х0, то
U V , U V , U V , U V
(V(x0) 0) имеют конечные производные в
точке х0 и справедливы равенства:
(U V ) U ' V ;
(U V ) U ' V ;
(U V ) U ' V V U ;
U U V V U
2
V
V

14.

Пример. Найти производную функции
y = sin x.
Докажем, что (sin x) cos x
Доказательство: (– ; )=X.
x X , x 0, x x
x
2 x x
y f ( x x) f ( x) sin( x x) sin x 2 sin
cos
;
2
2
x
x
sin
cos(x )
2
2 cos x.
(sin x) lim
x 0
x
2
x
sin
'
2
(sin
x
)
cos x C ( ; )
Так как lim
1 , то x Х
x 0 x
2

15.

3. Производная сложной и обратной функций.
Теорема 3. Если функция z=φ(x) имеет
производную в точке x0, а функция y =f(z) имеет
производную в точке z0=φ(x0), то сложная
функция y f (x)
имеет производную в
точке x0 и справедливо равенство
y x y z z x , f x [ ( x)] f z ( z0 ) z x ( x0 ) .

16.

Пример. Найти производную функции
y = sin kx.
Доказательство: имеем x X
(sin x ) cos x.
kx
k x
(kx) lim
lim
k 1 k.
x 0 x
x 0 x
По теореме о производной сложной функции
(sin kx) k cos kx x Х

17.

ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема 4. Если строго монотонная функция
y=f(x) имеет для некоторого значения х (a;b)
производную, отличную от нуля, то обратная
функция x=φ(y) имеет в соответствующей точке
y=y0 производную и
1
1
x y y
.
f ( x) y x

18.

Таблица производных
1.
2.
3.
4.
C 0
x 1
1
( x ) ( x )
(a ) a ln a
x
( e ) e
x
5.
x
x
1
(log a x)
x ln a

19.

4.
(a ) a ln a
x
x
Таблица производных
( e ) e
x
5.
6.
7.
8.
x
1
(log a x)
x ln a
1
(ln x)
x
(sin x) cos x
(cos x) sin x

20.

Таблица производных
1
9. ( tgx)
2
cos x
1
10. (ctgx)
2
sin x
11. (arcsin x)
12. (arccos x)
1
1 x
2
1
1 x
1
2

21.

1 x
1
x )
Таблица
производных
12. (arccos
2
1 x
1
13. (arctgx)
2
1 x
1
14. (arcctgx)
2
1 x
1
15. (log a x)
x ln a

22.

Литература
1. М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И.
Макаренко, Е. В. Шикин, В. И. Заляпин
Вся высшая математика. Том 1. Учебник.
(линейная алгебра и аналитическая
геометрия, введение в математический
анализ). -М.: Едиториал УРСС, 2012 – [1],
с.232-252.