Градусная и радианная меры угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс

1.

Синус, косинус,
тангенс и котангенс.

2.

Для чего нужны синусы и
косинусы в обычной жизни?
На практике синусы и косинусы
применяются во всех инженерных
специальностях, особенно в строительных.
Их используют моряки и летчики в
расчетах курса движения. Не обходятся без
синусов и косинусов геодезисты, и даже
путешественники. В географии применяют
для измерения расстояний между
объектами, а также в спутниковых
навигационных системах.

3.

4.

Детская
школа
Гауди в
Барселоне

5.

Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине

6.

Мост в Сингапуре

7.

8.

9.

10.

Немного из истории…
1. Древние вавилоняне и египтяне изучали
тригонометрию как часть астрономии;
разделили окружность на 360
2. Древние индийцы: ввели названия
«синус», «косинус», составили таблицы
синусов, косинусов
3. IX-XVвв – Средний и Ближний восток:
составляли таблицы котангенса, тангенса,
косеканса; ввели понятие единичной
окружности

11.

Немного из истории…
4. Насир ад-Дин Мухаммад ат-Туси (12011274) выделил раздел тригонометрии из
астрономии.
5. Лев Герсонид (1288-1344) – открыл
теорему синусов.
6. XVII-XIXвв: применение тригонометрии в
механике, физике, технике, как часть
математического анализа (Виетт, Бернулли)
– тригонометрические символы, графики –
синусоиды.
7. Л.Эйлер: придал тригонометрии
современный вид.

12.

Тригонометрия
(«три» - три, «гониа» - угол,
«метриа» - измеряю)
раздел математики,
изучающий
соотношение сторон и
углов в треугольнике

13.

Единицы
измерения углов
Градусы
Радианы

14.

Градусная мера угла
=1
1 – цена одного деления
окружности, разделенной
на 360 частей

15.

Радианная мера угла
1рад.
l=R
1 радиан – это величина
центрального угла, длина
дуги которого равна радиусу

16.

Единицы измерения
углов
Радианы
Градусы
радиан=180

17.

Перевод из градусной меры
в радианную:
радиан=180
n
n
рад
.
180

18.

Пример:
1. 30
2. 90
3.135

19.

Пример:
4. 36
5. 45
6.720

20.

Пример:
30
1. 30
рад.
рад.
6
180
90
рад
.
рад
.
2. 90
180
2
3
135
рад
.
рад
.
3.135
4
180

21.

Пример:
36
4. 36
рад.
рад.
5
180
45
рад
.
рад
.
5. 45
180
4
720
4
рад
.
рад
.
6.720
180

22.

Перевод из радианной
меры в градусную:
радиан=180

23.

Пример:
1.
2.
180
60
рад.
3
3
рад.
4
4
3.
рад.
5

24.

Пример:
180
60
1.
рад.
3
3
180
45
2.
рад.
4
4
4 180
4
3.
рад.
144
5
5

25.

№1: Переведите в
радианную меру углы:
1) 45
4) 100
7) 215
2) 15
5) 200
8) 150
3) 72
6) 360
9) 330

26.

№2: Переведите в
градусную меру углы:
1)
9
рад.
2)
рад.
5
5
3)
рад.
12
4)
рад.
4
4
5)
рад.
3
3
6)
рад.
4

27.

Перевод из градусной
меры в радианную:
n
n
180
рад.
Перевод из радианной
меры в градусную:
n рад. n 180

28.

Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
1. Переведите в радианную меру углы:
1) 60
2) 145
3) 240
1) 320
2) 105
3) 40
2. Переведите в градусную меру углы:
1) 2 рад.
5
8
2)
рад.
3
1) 9 рад.
4
5
2)
рад.
6

29.

Ответы
1.
1)
I вариант
II вариант
16
1)
рад.
9
7
рад.
2)
12
2
рад.
3)
9
рад.
3
29
рад.
2)
36
4
рад.
3)
3
2.
1) 72
1) 405
2) 480
2) 150

30.

Окружность с радиусом,
равным 1называется единичной.
Единичная окружность
r=1
Данная
окружность
построена в декартовой
системе координат. Радиус
окружности равен единице,
при этом центр окружности
лежит в начале координат,
начальное
положение
радиуса-вектора
зафиксировано
вдоль
положительного
направления оси x (в нашем
примере, это радиус AB).

31.

y
Положительное направление
поворота:
против часовой стрелки.
47
0
497
0
O
+
x
– 323
0
Отрицательное направление
поворота:
по часовой стрелке.

32.

Поворот
В т. М можем
попасть,
выполнив
множество
разных
поворотов.
y
900
M
1800
00
3600 x
O
37
323
0
2700
397
0
0

33.

Вспомним:
0 90
с
а
a
sin
с
b
cos
c
a
tg
b
в
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к
прилежащему.

34.

cos
у
1
P ( x; y )
у
sin
1
0
P (1;0)
х 0
1
х
1

35.

А можно сказать, какие
координаты имеет точка C,
принадлежащая окружности?
cos х
sin у
А если сообразить, что cos α
и sinα - это просто числа?
Какой координате
соответствует sinα?
Ну, конечно, координате x!
А какой координате
соответствует cos α?
Все верно, координате y!
Таким образом,
точка C(x;y)=C(cosα;sinα).

36.

Единичная окружность r = 1
y
O
x
MD
tg
OD
у
tg
x
M(x;y)
sin
tg
cos
y
x ctg OD
DМ
D
x
ctg
y
cos
ctg
sin
*
*

37.

Cинусом угла называется ордината
y точки М, а косинусом угла –
абсцисса x точки М.
sin a = y;
sin
tg
cos
cos a = x
cos
ctg
sin
sin cos
1
tg ctg
cos sin

38.

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
в координатных четвертях
у
у
+ +
х
1
- -
0
1
- +
+ 1
1
х
- +
+ 1
0
1
sin68 0
cos 76 0
sin 153 0
cos 236 0
sin 249 0
tg127 0
sin 315 0
ctg195 0
у
0
- +
- +
1
1
0
у
х
х

39.

Четность, нечетность синуса, косинуса,
тангенса, котангенса
sin( ) sin
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg
Нечетные функции
cos( ) cos
Четная функция

40.

41.

у
II
3
4
III
I
2
2
2
2
2
5
4
4
2
2
2
2
3
2
7
4
0
2
x
IV

42.

II
2
3
5
6
3
2
2
3
2
I
3
6
1
2
1
2
1
2
1
2
7
6
III
у
4
3
3
2
3
2
3
2
0
2
x
11
6
5
3
IV

43.

44.

у
3
sin 60
2
1
cos 60
2
3
2
60
1
0
1
420 ?
sin 780
х
1
2
1
2
cos420
cos780 ?
sin
sin 780
420
sin( 60
2 360 )
sin( 60 360 )
sin 60
sin 60
3
2 23
cos 780
cos
420
360 ))
cos(
cos(60
60 2360
11
cos
cos60
60
22

45.

sin 765
cos 1110
sin( 45 2 360 )
cos(30 3 360 )
2
sin 45
2
3
cos 30
2
1
sin( 1470 ) sin 1470 sin( 30 4 360 ) sin 30
2
1
cos( 1140 ) cos1140 cos(60 3 360 ) cos 60
2
sin( 810 ) sin 810 sin( 90 2 360 ) sin 90 1
cos( 1170 ) cos1170 cos(90 3 360 ) cos 90 0

46.

sin( ) sin 22
4
4
sin 2,5 sin( 0,5 2 ) sin 0,5 sin 2 1
9
1
2
cos( ) cos( 2 ) cos( 2 ) cos 4
4
4
4
2
13
1
3
tg
tg (2 ) tg ( 2 ) tg
6
6
6
6
3
7
1
ctg ( ) ctg (2 ) ctg ( 2 ) ctg 3
3
3
3
3

47.

Домашнее задание
1) Выучить формулы перевода из
градусной меры угла в радианную и
обратно.
2) Выучить определения sin, cos, tg, ctg
3) Переведите в радианную меру углы:
75 , 15 , 130 , 220 , 340
4) Переведите в градусную меру углы:
3
7
12
рад. ,
рад. ,
рад. ,
рад. ,
рад.
2
8
5
36
5

48.

Ответьте на вопросы:
1) Что означает «тригонометрия»?
2) Разделом какой науки являлась
тригонометрия в начале развития?
3)Какие единицы измерения углов Вы
знаете?
4) Чему равно радиан?
5) Как перевести из градусной меры в
радианную и обратно?
6) Было ли интересно на уроке?