1.05M
Категория: МатематикаМатематика

Взаимное пересечение поверхностей. Лекция № 7

1.

Взаимное пересечение
поверхностей

2.

Кадр 2
ВВЕДЕНИЕ
Конструктивные формы различных изделий
часто представляют собой сочетание
поверхностей различной конфигурации:
призмы, пирамиды, цилиндры, сферы,
конусы и т.д., которые пересекаясь между
собой образуют линии перехода или
пересечения.
Поэтому в процессе их разработки у
конструкторов, архитекторов, дизайнеров
и т.п. возникает необходимость заранее
предусматривать
характер
линий
перехода (пересечения) и решать вопрос,
с какой точностью эти линии должны
быть изготовлены.
Для того, чтобы ответить на эти вопросы
выполняется
геометрически
точное
построение линий перехода – линии
пересечения поверхностей.
В общем случае линия пересечения может
иметь
вид
плоской
кривой,
пространственной кривой или ломаной
линии.
Рисунок 1

3.

Кадр 3
Конфигурация линии пересечения определяется формой
пересекающихся
поверхностей
и
их
расположением
относительно друг друга.
Пересечение
поверхностей
многогранников
(призм,
пирамид)
дает
ломаные
линии,
отрезки
которых
являются
линиями
пересечения
соответствующих граней.
Пересечение поверхностей тел
вращения
(цилиндров,
конусов,
сфер
и
др.)
образует в общем случае
пространственные кривые,
а в частных случаях –
плоские линии пересечения
(эллипс, окружность) или
прямые линии.

4.

Кадр 4
Варианты взаимного пересечения двух поверхностей:
1– врезка
линия
пересечения - одна
замкнутая
пространственная
линия;
2 – полное пересечение
(проницание)
линия пересечения
распадается на две замкнутые
пространственные линии –
линии входа и выхода одного
тела из другого;
1
2
Рисунок 2

5.

Кадр 5
Варианты взаимного пересечения двух поверхностей:
3
3 – проницание с касанием в
одной точке
линия входа и линия выхода
«встречаются» - касаются в одной
точке;
4
4 – пересечение по плоской
кривой
линия
пересечения
распадается на две плоские
кривые (эллипс или окружность),
проходящие
через
прямую
соединяющую точки касания.
М
М
Б
Б
А
А
Рисунок 3

6.

Кадр 6
Последовательность
решения задач
Последовательность решения задач:
На практике существует несколько методов построения линии
пересечения поверхностей, которые применяются в зависимости от
формы геометрических тел, их расположения относительно друг
друга и относительно плоскостей проекций.
Одним из наиболее распространенных методов является способ
вспомогательных секущих плоскостей уровня.
Независимо от вида поверхностей и варианта их пересечения существует
общая последовательность решения задач данного типа:
1. Проанализировать форму геометрических поверхностей и их
расположение относительно друг друга и относительно
плоскостей поверхностей.
2. Определить вариант пересечения поверхностей и характер
получаемой линии пересечения.
3. Найти опорные точки линии пересечения,
4. Построить промежуточные точки линии пересечения.
5. Построить искомую линию пересечения.
6. Определить видимость участков линии пересечения.

7.

Кадр 7
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Способ заключается в том, что при пересечении пересекающихся
поверхностей некоторой плоскостью
(рис. 4), получаются как бы
отдельные линии пересечения плоскости с каждой поверхностью. В свою
очередь, точки пересечения этих линий являются общими для заданных
поверхностей. На рисунке 4,а- это точки М и N.
Если построить не одну плоскость, а несколько плоскостей посредников, то образуется целая группа взаимно общих точек, через
которые и будет проходить искомая линия пересечения поверхностей. На
рис. 4,б показано, как через точки 1,2,3,4 проходит передняя половина
линии пересечения цилиндра и полусферы.
а
б
Рисунок 4

8.

Кадр 8
Способ вспомогательных секущих плоскостей
При построении линии пересечения сначала находят так
называемые опорные точки:
Очевидные – определяемые без дополнительных графических построений;
Характерные – лежащие на очерковых образующих поверхностей вращения
(цилиндрических, конических и др.) или на крайних ребрах многогранных
поверхностей. Эти точки позволяют в дальнейшем определить видимость
участков линии пересечения.
К характерным точкам относятся также крайние точки линии пересечения:
самые высшие, низшие, правые и левые.
Все остальные точки линии пересечения называются промежуточными.
Для построения промежуточных точек применяются взаимно параллельные
вспомогательные секущие плоскости. В качестве вспомогательных
плоскостей наиболее часто применяют плоскости уровня. При этом их
выбирают так, чтобы они пересекали заданные поверхности по простым
линиям – прямым или окружностям.
Важно отметить, что перед тем как строить линию пересечения на чертеже
необходимо хотя бы приблизительно представить ее в пространстве!!!

9.

Кадр 9
Задача:
Построить
линию
пересечения
четырехгранной призмы с полуцилиндром (рис.5,6).
прямой
1. Вид заданных поверхностей –
полуцилиндр и прямая четырехгранная призма.
Анализируем взаимное расположение поверхностей
относительно друг друга
– полуцилиндр лежит в горизонтальной плоскости, его
основания
параллельны
профильной
плоскости
проекций,
– призма перпендикулярна горизонтальной плоскости и
располагается в центре полуцилиндра (плоскости
симметрии поверхностей совпадают).
2. Определяем вариант пересечения поверхностей и
характер получаемой линии пересечения –
Вариант пересечения – врезка.
Линия пересечения - замкнутая пространственная
линия, участки которой представляют собой отрезки
эллипса.
3. Определяем опорные точки. Грани призмы
пересекают цилиндрическую поверхность по линиям,
которые
замыкаются между собой в точках входа ребер призмы в
цилиндр (опорные точки A,B,C,D).
Рисунок 5
C – на скрытой от наблюдателя стороне
B
A
D
Рисунок 6

10.

Кадр 10
Порядок построения
1. Строим горизонтальные проекции
опорных точек А,В,С, D.
′ ′ С′ D′- горизонтальная
проекция линии пересечения
2. Строим профильную проекцию
линии пересечения- ′′′(B′′′) C′′′ D′′′.
3. Построение промежуточных точек
линии пересечения.
Для построения промежуточных
точек проводим вспомогательные
секущие фронтальные плоскости
уровня , (их горизонтальные
проекции ′ и ′ - прямые линии).
Получаем проекции точек M′, N′, K′,
L′. Используя линии связи строим
M′′′N′′′K′′′L′′′.
4. Строим фронтальную проекцию
линии пересечения- M′′N′′K′′L′′.
5. Определение видимости линии
пересечения.
Так как поверхности полусферы и
призмы
имеют
совпадающие
плоскости симметрии, то и отрезки
линии пересечения на передней и
задней
сторонах
геометрической
фигуры совпадают, т.е. невидимая
часть линии спрятана точно за
видимыми отрезками.
′′ ′′ ′′
′′
′′ L′′
D′′(C′′

С′




L′


D′
С′′′
′′′ L′′′ ′′′(B′′′)
′′′ ′′′
D′′′

11.

Кадр 11
Задача: Построить линии пересечения цилиндров 1 и 2
1.Определяем вид заданных поверхностей- 1-цилиндр,2-цилиндр,111-цилиндр
2. Анализируем взаимное расположение поверхностей относительно друг друга
– ось цилиндра I параллельна горизонтальной плоскости, его основания перпендикулярны
профильной плоскости проекций,
– оси II и III цилиндров перпендикулярны горизонтальной плоскости
II
′′
3.
Определяем
вариант
пересечения
поверхностей и характер получаемой линии
пересечения –
– I и II цилиндры – врезка, линия пересечения замкнутая пространственная линия,
– I и III цилиндры – пересечение по двум
плоским кривым - половинам эллипсов.
′′ ′′
′′ L′′
′′
D′′(C′′
I
4. Порядок построения:
4.1 Построение линии пересечения I и II
цилиндров
- Определяем проекции опорных точек
A,B,C,D:
- Строим проекции промежуточных точек
M,N,K,L,
для этого выбираем вспомогательные секущие
фронтальные плоскости уровня , (их
горизонтальные проекции ′ и ′ - прямые линии).
Соединяя последовательно найденные точки на
всех проекциях, получаем проекции линии
пересечения поверхностей.
′′′(B′′′)
′′′ L′′′
′′′ ′′′
С′′′
D′′′
III



С′
L′



D′

12.

Кадр 12
Задача: Построить линии пересечения цилиндров I и III
цилиндров
Так как диаметры I и III цилиндров
равны,
то
внутри
таких
пересекающихся тел может быть
вписана сфера.
В таком случае пересечение
происходит
по
линиям
распадающимся на две плоские
кривые – эллипсы, причем их
фронтальные проекции – отрезки
прямых.
I
4′′(3′′)
2′′
1′′
Горизонтальная и профильная
проекции – совпадают с очерком
окружностей оснований.
Опорные точки 1, 2, 3, 4.
Построение промежуточных точек
– не имеет смысла.
3′
3′
1′
4′
2′
III

13.

Кадр 13
Задача. Построить линию пересечения двух призм

14.

Кадр 14
Решение:
(5''')
2''(5'‘)
(4'')
2'''
1''
4'''
3''
(1''')
3'''
4'
5'
1'
3'
2'
English     Русский Правила