Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация

1.

1
Интерполяция, экстраполяция,
аппроксимация
Интерполяция – определение
промежуточных значений
функции по известному
дискретному набору значений
функции
Экстраполяция – определение
значений функции за пределами
первоначально известного
интервала
Аппроксимация – определение в
явном виде параметров
функции, описывающей
распределение точек
fi , x i
интерполяция
fi , x i
экстраполяция
g(x)
аппроксимация
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn

2.

2
Задача интерполяции
Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений xi, yi:
на интервале [a; b]:
y x
yi f xi i 0,1, , n
a xi b
Задача интерполяции - найти функцию F(x),
принимающую в точках xi те же значения yi
точки xi – узлы интерполяции
условие F(x)= yi – условие интерполяции
1
1
y2
x2
… …
yi
… …
yn
Через заданные точки можно провести бесконечно много кривых, для
каждой из которых выполнены все условия интерполяции
Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами:
F x a0 a1 x a2 x 2 ... am x m
xi
xn

3.

3
Локальная и глобальная
интерполяция
Глобальная интерполяция
функция f(x) интерполируется на всем интервале [a; b] с помощью
единого интерполяционного полинома
Pm x a0 a1 x a2 x 2 ... am x m
обычно m=n, т.е. степень полинома выбирается равной количеству узлов
на практике не всегда применима
Локальная (кусочно-полиномиальная) интерполяция
на каждом интервале [xi , xi+1 ] строится отдельный интерполяционный
полином невысокой степени

4.

4
Кусочно-линейная интерполяция
Узловые точки соединяются отрезками прямых
через каждые две точки xi , xi+1 проводится полином
первой степени:
F x a0 a1 x
x i 1 x x i 1
коэффициенты a0 , a1 разные на каждом интервале [xi , xi+1 ]:
fi 1 a0 a1 xi 1
fi a0 a1 xi
a1
f ( xi ) f ( xi 1 )
xi xi 1
a0 f ( xi-1 ) a1 xi-1
xi
xi+1

5.

5
Кусочно-квадратичная
интерполяция
Квадратичная интерполяция проводит через узловые
точки уравнение параболы:
F x a0 a1 x a2 x 2
x i 1 x x i 1
коэффициенты a0 , a1 , a2 разные на каждом интервале[xi , xi+1 ]:
f i 1 a0 a1 xi 1 a 2 x x2 i
2
f i a0 a1 xi a 2 x x
f a a x a x2
0
1
i 1
2
x i
i 1
a2
f ( xi 1 ) f ( xi 1 )
f ( xi ) f ( xi 1 )
xi 1 xi 1 xi 1 xi xi xi 1 xi 1 xi
a1
f ( xi ) f ( xi 1 )
a2 xi xi 1
xi xi 1
a0 f ( xi-1 ) a1 xi-1 a2 xi-21
xi-1
xi
xi+1

6.

6
Многочлен Лагранжа
На всем интервале [a; b] строится единый полином:
n
Ln x yi li ( x)
i 0
где li(x) – базисные полиномы степени n:
x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn
x xk
xi x0 xi x1 xi xi 1 xi xi 1 xi xn
k 1 xi xk
n
li ( x)
k i
имеет малую погрешность при небольших значениях n<20. При больших n
погрешность начинает расти
применимо как для равноотстоящих, так и для не равноотстоящих узлов.
кусочно-линейная и кусочно-квадратичная локальные интерполяции - частные
случаи интерполяции многочленом Лагранжа.