Скалярное прозведение векторов

1.

СКАЛЯРНОЕ
ПРОЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ

2.

Вектор – направленный
отрезок
Y
a xa ya
yb
ya
xb
O
a
aиb
xa
X
b xb yb

3.

Координаты вектора с концами в точках A(xA, yA) и
B(xB, yB) :
AB
xB x A yB y A
Длина вектора a(x, y):
a
x y
2
2
Координаты суммы векторов a(xA, yA) и b(xB, yB) :
a b
xB x A yB y A
Координаты произведения вектора a(x, y) на число
λ:
a
x y

4.

Диктант
Даны точки A(2; -3), B(-1; 2),
С(0; -4)
1. Найдите координаты вектора AB
2. Найдите координаты вектора ВС
2. Найдите длину вектора AB
2. Найдите длину вектора BC
2. Произведение 5 · AB :

5.

Угол между векторами
aиb
a
A1
a
b
O1
A
b
a
O.
;
a
;
b
AOB
B1
Угол
векто
между
a
и
b
b
B
a; b
Если
a
b
;
a
0
или
b
0
;
a
0
,
b
0
0
то
0
0
0
0
180

6.

Пример
0
0
a
;b
30
;a
;c
120
0
0
0
b
;
c
90
;d
;
f
0d
;
c
180
0
a
b
, если
90
a
d
300
c
b
f

7.

Скалярным произведением
векторов называется
произведение их длин на
косинус угла между ними
a
b
скалярное
произве
ие
_
вект
a
и
b
длины
векто
a
a
b
a b cos(
)
b

8.

Примеры:
a
1.
2
b
,
a
5 b
a
1.
7 b
1.
,
,
b
,
a
1
1. a
7 , b
1.
3
,
1
,
4
,
a b
0
2 3 cos 60
0
a b
0
5 1 cos 30
0
a b
7 4 cos 45
0
60
30
45
0
5 3
2
14 2
0
a b
120
0
1 1 cos 120
5,
0
a b
90
0
7 5 cos 90
1
,
3
1
2
0

9.

b
Свойства скалярного
произведения:
a
a b 0
a
b
0
a
b
a
b
a
b
cos
0
a
b
a
b
b
a
0
a b 90
0
a b 90
a b 0
a b 0
a
b
b
a

10.

Свойства скалярного
произведения:
0
a
b
a
b
a
b
cos
180
a
b
a
b
a
2
a
a
a
скаляр
квад
век
0
2
2
a
a
a
a
a
cos
0
a

11.

Скалярным произведением
векторов a x1 y1 и b x2 y2
называется число
a b
Y
B(x2; y2 )
y2
b
x2
y1
O
A(x1; y1)
a
x1
x1 x2 y1 y2

12.

Примеры: скалярное
произведение векторов
a b
5 2 ( 4) 1
6
1. a( 0 3) и b( 7 1)
a b
0 7 3 ( 1)
4
1. a( 5 2) и b( 4 1) a b
5 4 2 ( 1)
18
1. a( 5 4) и b( 2 1)

13.

Вычислите скалярное
произведение векторов:
a b
1.
a(1,1); b(1,2)
1.
a(-2,5); b(-9,-2) a b
1.
a(-3,4); b(4,5)
a b
1.
a(5,2); b(-9,4)
a b
1.
a(-1,1); b(1,1)
a b
1 1 1 2
3
2 ( 9) 5 ( 2)
8
3 4 4 5
8
5 ( 9) 2 4
37
1 1 1 1
0

14.

Следствия
Следств
1
:
a
0
и
b
0
,
то
a
b
x
x
y
y
0
1
2 1
2
a
b
Следствие
2
:
a
b
a
b
cos
cos
a
b
x
x
y
y
1
2
1
2
cos
2
2
2
2
x
y
x
y
1
1
2
2

15.

Пример. Даны 2 вектора:
1. Вычислите скалярное
произведение векторов:
2. Вычислите длину
вектора a:
3. Вычислите длину
вектора b:
4. Вычислите косинус угла
между векторами:
5. Сделайте вывод: тупой,
прямой или острый угол
мы получили
a( 1 3) b( 5 2)

16.

Вычисление угла между
векторами с координатами:
a (a1, a2), b (b 1, b2)
a b a1 b1 a2 b2
1. Вычислить скалярное
произведение векторов:
2
2
a
a1 a2
2. Вычислить длину вектора a:
2
2
b
b1 b2
3. Вычислить длину вектора b:
4. Найти произведение длин
a b
векторов:
5. Разделить скалярное
a b
cos a b
произведение векторов на
a b
произведение их длин: