Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта. Лабораторная работа №7

1.

Лабораторная работа № 7
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ ЭЙЛЕРА
И РУНГЕ-КУТТА
Целью данной работы является:
- овладение практическими навыками численного решения задачи
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
- проведение вычислительных экспериментов по применению метода
Эйлера и Рунге-Кутта;
- сравнение методов Эйлера и Рунге-Кутта;
- практика и использование стандартных подпрограмм для решения
дифференциальных уравнений;
- закрепление навыков программирования на алгоритмическом языке и
отладки программ.
1

2. Общие сведения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , для
которого требуется найти частное решение , соответствующее
начальному условию . Что это значит? Это значит, нам нужно
найти функцию (предполагается её существование) , которая
удовлетворяет данному дифф. уравнению, и график которой проходит
через точку .
При решении прикладных задач ищут
частные решения дифференциальных
уравнений. Выделение частного решения из
семейства общих решений осуществляется с
помощью задания начальных условий:
Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей
исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют
решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального
значения
2

3. Метод Эйлера

Одним из наиболее распространенных методов решения обыкновенных
дифференциальных уравнений является метод конечных разностей
(МКР). Рассмотрим применение МКР для численного решения на ЭВМ
простейшего дифференциального уравнения первого порядка:
dY
f ( X, Y )
dX
1
с начальными условиями X0 , Y(X0 ) = Y0.
начало
2
x0, y0, x, xk
3
4
5
нет
6
7
8
y= y + x ·f (x,y)
x= x + x
x, y
xi xk
да
f (x, y)
конец
3

4. Метод Рунге-Кутта

В результате для получения значения функции yi+1 по методу Рунге-Кутта
выполняется следующая последовательность вычислительных операций:
4

5. Пример решения дифференциального уравнения

6
5
y 1( x)
y ( x)
4
y 3( x)3
2
1
5
0
1
2
3
x
4
5

6. Требования к отчету по лабораторной работе

Требования к отчету по
лабораторной работе
Теоретический материал;
Программа со следующим интерфейсом:
6

7. УДАЧИ!

7