Уравнение плоскости, расстояние

1.

A0 x0 ; y0 ; z0 ; n a; b; c A0 ;
n a; b; c
A0 x0 ; y0 ; z0
n
A0 A x x0 ; y yo ; z z0
n A0 A
A x; y; z
n A0 A O
a x x0 b y y0 c z z0 0
ax by cz ax0 by0 cz0 0
d
: ax by cz d 0
n a; b; c

2.

Напишите уравнение плоскости ,
№5.
проходящей через точку М 0 2;5; 3 ,
Дано :
M 1 7;8; 1 перпендикулярно вектору М 1М 2 .
M 1M 2 9 7; 7 8; 4 1
M 2 9;7;4
M 1M 2 2; 1; 5 n
n 2; 1;5
M 0 2;5; 3
A x; y; z
M 0 A x 2; y 5; z 3
n M 0 A; n M 0 A 0;
2 x 2 1 y 5 5 z 3 0;
2 x y 5 z 4 5 15 0
Ответ : 2 x y 5 z 16 0

3.

Напишите уравнение плоскости ,
№5.
проходящей через точку М 0 2;5; 3 ,
Дано :
М 1М 2 .
M 1 7;8; 1 перпендикулярно вектору
M 2 9;7;4 M 1M 2 2; 1; 5 n
L : 2 x y 5z d 0
M0 L
n 2; 1;5
M 0 2;5; 3
A x; y; z
2 2 5 5 3 d 0
d 16
Ответ : 2 x y 5 z 16 0

4.

: ax by cz d 0
n a; b; c
нормаль к плоскости

5.

n a; b; c n нормаль
n a2 b2 c2
a
b
c
n e
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b c
a b c
a b c
a b c
1
e единичный вектор
e 1
e n e n cos 0 1 n 1 n
e n | n |

6.

A x1; y1; z1 ,
A x1; y1; z1
n
A0 A e A0 A ; A0 A A0 A
n
A0 A x1 x0 ; y1 yo ; z1 z0
A0 x0 ; y0 ; z0
n A0 A
a b c
2
2
2
;
: ax by cz d 0
a x1 x0 b y1 y0 c z1 z0
n a; b; c
2
2
2
a b c
d
ax1 by1 cz1 ax0 by0 cz0
a 2 b2 c2
ax1 by1 cz1 d
a b c
2
2
2

7.

: ax by cz d 0; A x1; y1; z1 ,
A x1; y1; z1
ax1 by1 cz1 d
a b c
2
2
2

8.

№ 4.
Найдите расстояние от точки
М 1; 1;1 до плоскости АВС .
Дано :
AB a 2; 1;1 ; AC b 0;0;1 ; n a; b; c
A 1;1;0
n a ;
n a 0;
2a b c 0;
B 1;0;1
c 0;
n b;
n b 0;
C 1;1;1
a 1;
:
x
2
y
0
z
d
0
2
a
b
0
;
b 2; частное
решение
d 1
простейшее
системы
c
0
;
диафантово
(∗)
уравнение
: x 2 y 0 z 1 0
c 0
M ,
1 2 0 1
1 2 0
2
2
2
4 5
Ответ :
5

9.

№ 6.
Найдите расстояние от точки
Дано :
М 1; 1;1 до плоскости АВС .
A 1;1;0
m d ; e; f ;
AB
m
2
;
1
;
1
;
B 1;0;1
k s; l ; g ;
AC k 0;0;1 ;
C 1;1;1
n a; b; c
e
m k
l
f d
;
g s
f d e
n
;
g s l
n eg fl ; dg fs; dl se
n m egd fld edg efs fld efs 0
n k egs fls ldg lfs ldg egs 0

10.

Найдите расстояние от точки
№ 6.
Дано :
М 1; 1;1 до плоскости АВС .
A 1;1;0
AB m 2; 1; 1 ; n a; b; c
B 1;0;1
AC k 0 ; 0 ; 1 ;
C 1;1;1
2
1
1
1
2
1
n m k
;
;
0
1
0
1
0
0
n 1 1 1 0; 2 1 0 1 ; 2 0 1 0
n 1; 2; 0 ;
: x 2y 0 z d 0
1 2 0 d 0;
d 1
: x 2 y 0 z 1 0
M ,
1 2 0 1
1 2 0
2
2
2
4 5
Ответ :
5

11.

Уравнение плоскости в отрезках
z
: ax by cz d 0;
x
K 0;0; k k
a m d ;
b n d ;
c k d ;
n y
N 0; n;0
m
M m;0;0
M , N , K
a d m
b d n
c d k
d
d
d
: x y z d ;
m
n
k
x y z
1
m n k

12.

№10. В прямоугольном параллелепипеде АВСD