уравнение плоск и прямой

1.

Уравнение прямой,
плоскости и сферы
в пространстве
11 класс
05.10.2026

2.

x y
+ =1
a b
В(0; 3)
b
А(4;0)
а
А(0; b )
В( a ;0)
x
y
+
=1
4 3
05.10.2026
school-hm.ru

3.

x y
+ =1
a b
b
x
y
− +
=1
1
3
а
x
y
− −
=1
3 4
x
y
+
=1
5
2
05.10.2026
school-hm.ru

4.

y
b
1. Общее: ax+by+c=0
2. По угл. коэффициенту y=kx+b
x y
+ =1
3. В отрезках
a b
4. По двум точкам x − x1 = y − y1
x2 − x1
y 2 − y1
k = tg =
α
M
x Расстояние от
точки до прямой
| ax0 + by0 + c |
(M ; l ) =
a 2 + b2
Угол между прямыми
tg =
k 2 − k1
;
1 + k1k 2
параллельны
a1 b1 с1
k1 = k 2
=
или
a2 b2 с2
b b
1
d=R
d>R
O
k1 k2 = −1 l1 ⊥ l2
l2: a2x+b2y+c2=0
l1: a1x+b1y+c1=0
пересекаются
a1 b1
или k1 k2
a2 b2
y2 − y1
x2 − x1
O
2
d<R
совпадают
a1 b1 с1
или
= =
a2 b2 с2 k1 = k 2
b1 = b2
(x-a)²+(y-b)²=R²
O

5.

Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору
n{ А; В; С}
А( x0 ; у0 ; z0 )
В ( x; y; z )
А( x0 ; у0 ; z0 )
n ⊥
n{ A; B; C} -нормальный
вектор плоскости
В( x; y; z )
АB x − x0 ; y − y0 ; z − z0
n АB = 0
А( x − x0 ) + В( y − y 0 ) + С ( z − z0 ) = 0
Аx + Вy + Сz + D = 0
05.10.2026
, где
D = −( Ax0 + By 0 + Cz0 )

6. Исследование общего уравнения плоскости

Z
с
◼ 1. Ax + By + Cz + D = 0
b
x y z
+ + =1
a b c
◼ 2. A 0, B 0, C 0, D = 0
а
У
Х
Z
Ax + By + Cz = 0
O(0,0,0) P
У
Х

7.

05.10.2026

8.

05.10.2026

9.

05.10.2026

10.

05.10.2026

11.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(-2;3;5),
В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты вектора нормали.
05.10.2026

12.

05.10.2026

13.

Угол между плоскостями
: a1x + b1 y + c1z + d1 = 0
Вектор нормали плоскости : n1{a1 ; b1 ; c1}
: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Вектор нормали плоскости : n2 {a2 ; b2 ; c2 }
cos =
05.10.2026
| a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 |
2
2
2
2
2
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2
2

14.

05.10.2026

15.

Расстояние от точки до плоскости
M ( x0 ; у0 ; z0 )
n{a; b; c}
(M , ) =
05.10.2026
| ax0 + by0 + cz0 + d |
a +b +c
2
2
2

16.

8.
05.10.2026

17.

Прямая на плоскости
Прямая в пространстве
M 0 ( x0 , y 0 )
l = (m, n)
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
l = (m, n, p )
x = x 0 + tm
y = y 0 + tn
x = x 0 + tm
y = y 0 + tn
z = z + tp
0
20

18.

Каноническое уравнение прямой на плоскости и в
пространстве
• Если исключить параметр t из
параметрического уравнения, то получим
каноническое уравнение прямой.
на плоскости
в пространстве
x − x0 y − y 0
=
m
n
x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
m
n
p
21

19.

Уравнение прямой проходящей через две
точки М1 и М2
на плоскости
в пространстве
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
M ( x, y)
M ( x, y, z )
l = M 1M 2
M 1 M 2 = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 ) M 1 M 2 = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 )
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
x 2 − x 1 y 2 − y1 z 2 − z 1
22

20.

05.10.2026

21. Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

05.10.2026

22. Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2

05.10.2026

23.

05.10.2026

24.

05.10.2026

25.

05.10.2026

26.

Обобщим теорию
05.10.2026

27.

На плоскости
Общее ур-ние прямой
Ур-ние прямой в отрезках
В пространстве
Общее ур-ние плоскости
а(