О. Интеграл (1)

1.

Математика
Преподаватели:
Мовсисян Геворг Суренович,
Попова Ольга Николаевна

2.

Тема 16 и 17.
Определённый
интеграл

3.

План лекции
1. Задача о нахождении площади
криволинейной трапеции.
2. Задача о вычислении массы
стержня.
3. Задача о перемещении
материальной точки.
4. Понятие определённого
интеграла.

4.

1. Задача о нахождении
площади криволинейной
трапеции.
Рассмотрим задачу, которая
приводит к понятию
определённого интеграла.
В элементарной геометрии
рассматривались площади
криволинейных фигур,

5.

ограниченных
прямолинейными отрезками,
а также площадь плоской
фигуры.
Поставим задачу о
вычислении площади S
криволинейной трапеции,
ограниченной произвольной
замкнутой линией.

6.

Опр. Криволинейной
трапецией расположенной над
осью Ox называется плоская
фигура ограниченная
графиком функции f(x)
сверху, осью Ox снизу, прямой
слева x = a и прямой справа
x = b.

7.

8.

Задача: вычислить площадь S
данной криволинейной
трапеции.
Решение: Разобьём отрезок
[a;b], который является
основанием криволинейной
трапеции на n равных частей.
Данное разбиение осуществим
с помощью точек

9.

x1 , x2 , , xk , xk 1 , xn 1
полагая, что
a x0 , b xn .
Проведём через эти точки
прямые параллельные оси Oy.

10.

Тогда данная криволинейная
трапеция разобьётся на n
различных столбиков.
Площадь всей трапеции будет
равна сумме площадей всех
столбиков.

11.

12.

Рассмотрим отдельно один
из столбиков - k−ый столбик,
то есть криволинейную
трапецию с основанием
[ xk ; xk 1 ]

13.

Заменим его на
прямоугольник с тем же
основанием, длина которого
равна
xk 1 xk xk
и высотой
f ( xk )

14.

15.

S
Площадь
данного
k
прямоугольника будет равна
S k f ( xk ) xk

16.

Если проделать тоже самое со
всеми столбиками, то придём
к выводу: площадь S
криволинейной трапеции
приблизительно равна
площади S ступенчатой
n
фигуры составленной из
n прямоугольников.

17.

18.

А площадь S n ступенчатой
фигуры будет равна сумме
площадей всех
прямоугольников.
Таким образом получаем
следующую
последовательность сумм

19.

S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 f ( xn 1 ) xn 1
S 0 S1 S k S n 1
где x0 x1 x0
длина отрезка [ x0 ; x1 ]

20.

x1 x2 x1
длина отрезка [ x1 ; x2 ] и т.д.
Выше было обговорено, что
отрезок [a; b] делится на
равные части, а это значит,
что
x0 x1 xn 1

21.

Мы пришли к выводу, что
S Sn ,
но стоит заметить, что чем
больше разбиение n, тем
точнее это приближение.

22.

Вывод: искомая площадь
криволинейной трапеции
будет равна пределу
последовательности сумм
при
, то есть
n
S lim S n .
n
Sn

23.

2. Задача о вычислении массы
стержня.
Пусть дан прямолинейный
неоднородный стержень [a; b]
(неоднородный, т.е.
плотность стержня в каждой
точке разная).

24.

Плотность данного стрежня в
каждой точке х вычисляется
по формуле