Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми

1.

Скалярное произведение
векторов.
Вычисление углов между
прямыми.

2.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a
b
a
b
cos

3.

a
b a b cos
Если
Если
Если
a b = 0
a b 0
, то
a b
- острый угол
a b 0 , то - тупой угол
, то

4.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1;y1;z1
b x2;y2;z2
a
b
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

5.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
соs
а x1;y1;z1
a b
| a | |b |
b x2;y2;z2
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
cos
2 2 2
2 2 2
x
y
z
x
y
z
1
1
1
2
2
2

6.

Угол между прямыми
р - направляющий вектор прямой а
а
р
q - направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
q
b
p x1 ; y1 ; z1
р
q
cos =
q x2 ; y2 ; z2
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x +y +z x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

7.

№1
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
A(5;-8;-1), В(6;-8;-2), С(7;-5;-11), D(7;-7;-9)
Решение
AB 1;0; 1
cos =
СD 0; 2;2
| 1 0 0 ( 2) ( 1) 2 |
12 0 2 ( 1) 2 0 2 ( 2) 2 2 2
1
cos
2
60
0

8.

№2 (Решите самостоятельно)
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если
A(1;0;2), В(2;1;0), С(0;-2;-4), D(-2;-4;0)

9.

№3
Дано:
ABCDA1B1C1D1 куб
M AA1 AM : MA1 3 : 1
BN NC
С1 Вычислить косинус угла между
D1
прямыми MN и DD
B1
А1
1
М
С
D
А
N
B

10.

Дано: ABCDA1B1C1D1 куб
M AA1 AM : MA1 3 : 1 BN NC
Найти: cos( MN, DD )
1
z
С1
D1
Решение:
Пусть ребро куба равно 1.
Введем прямоугольную
систему координат.
B1
А1
М
С
D
А
x
N
B
y

11.

z
С1
D1
B1
А1
3
M (1;0; )
4
М
С
D
А
N
1
N ( ;1;0)
2
D (0;0;0) D1 (0;0;1)
y
B
x
3
1
MN ;1;
4
2
DD1 0;0;1

12.

3
1
MN ;1;
4
2
cos =
DD1 0;0;1
1
3
| 0 1 0 ( ) 1 |
2
4
2
2
1
3
2
2
2
2
1 0 0 1
2
4
3
cos
29

13.

Дано:
ABCDA1B1C1D1 куб
M AA1 AM : MA1 3 : 1
№466(г)
BN NC
С1 Вычислить косинус угла между
D1
прямыми MN и A C
B1
А1
1
М
С
D
А
N
B