Расчет плоских рам

1.

Построение эпюр
усилий в плоской
статически
определимой раме

2.

Построим эпюры M, Q и N в плоской раме.
F1=10кН
3м
3м
F1=10кН
W 3D 2H C 3 4 2 4 4 0.
w=1.5кН/м
D3
3
4
D4
5
2м
F2=3кН
6
2
2м
q=2кН/м
F2=3кН
7
1
D2
D1
9
3м
4,5м
ЗЕМЛЯ
4,5м
4м
8
0
1. Кинематический анализ
D=4 – количество дисков (D1 – D4), H=4 – число
простых шарниров (узлы 2, 4, 6 и 8), С=4 –
количество связей 1-го типа (в узлах 0 и 9 шарнирно
неподвижные опоры).
Система может быть геометрически неизменяемой.
Выполним дополнительный анализ образования
расчетной схемы: а) три диска D1, D2 и ЗЕМЛЯ
соединены между собой тремя шарнирами не
расположенными на одной прямой; образованная
система DI - геометрически неизменяемая; б) диски
DI, D3 и D4 соединены между собой тремя
шарнирами не расположенными на одной прямой.
Вывод: плоская рама является геометрически
неизменяемой, а так как одним из дисков является
ЗЕМЛЯ – то и неподвижной.

3.

F1=10кН
3м
3м
F1=10кН
w=1.5кН/м
3
4
5
2м
F2=3кН
6
2
2м
q=2кН/м
F2=3кН
7
1
4м
8
0
9
4,5м
3м
4,5м
3
4
Второстепенная
часть
2
5
6
6
2
7
1
8
Главная
часть
0
9
2. Выделим главные и второстепенные части
Расчет производим в порядке, противоположном
образованию расчетной схемы.
Выделим в качестве второстепенной части
трехшарнирную раму 2-3-4-5-6.
Тогда главной частью будет трехшарнирная рама 02-8-6-9.
Опорные реакции в узлах 2 и 6 второстепенной
части передаются в эти же узлы главной части с
противоположным знаком.

4.

y
F1=10кН
3м
3м
F1=10кН
w=1.5кН/м
3
4
H2 2
5
H6
x
6
7,5м
V6
V2
Выполним проверку.
M 2 0 : 2 F2 w 2 1 1,5 F1 7 ,5 F1 7 ,5V6 0
2м
F2=3кН
3. Расчет второстепенной части
Определим реакции опор.
2 F2 2 w 9 F1 2 3 2 1,5 9 10
13,2кН .
7 ,5
7 ,5
M 6 0 : 2 F2 w 2 1 6 F1 7 ,5V2 0
2 F2 2 w 6 F1 2 3 2 1,5 6 10
V2
6 ,8 кН .
7 ,5
7 ,5
V6
y 0 : V2 2 F1 V6 6 ,8 2 10 13,2 0.
3 F1 3V6 3 10 3 13,2
пр
4 ,8 кН .
M 4 0 : 3 F1 2 H 6 3V6 0 , H 6
2
2
3F1 2w 4 ,5V2 3 10 2 1,5 4 ,5 6 ,8
лев
1,2кН .
M 4 0 : 3F1 w 2 1 2 H 2 4 ,5V2 0 , H 2
2
2
Выполним проверку. x 0 : F2 2w H 2 H 6 3 2 1,5 1,2 4 ,8 0.
Определим изгибающие моменты: M 23 0; M 32 1,5V2 2 H 2 2w 1 1,5 6 ,8 2 1,2 1,5 2 9 ,6 кНм .
M 34 M 32 ; M 43 M 45 0; M 54 M 56 2 H 6 2 4 ,8 9 ,6 кНм ; M 65 0.
Построим эпюру М для второстепенной части.
9,6кНм
9,6кНм
Эп. М

5.

w=1.5кН/м
V2=6,8кН
H2=1,2кН
V6=13,2кН
H6=4,8кН
6
2
2м
q=2кН/м
F2=3кН
4. Расчет главной части
Определим реакции опор.
M 0 0 : 4 F2 w 6 3 4 ,5V2 6 H 2 12V6 6 H 6
8
q 9 7 ,5 12V9 0
4 F 18w 4 ,5V2 6 H 2 12V6 6 H 6 2 9 7 ,5
V9 2
12
0
9
H9
4 3 18 1,5 4 ,5 6 ,8 6 1,2 12 13,2 6 4 ,8 18 7 ,5
H0
4,5м
4,5м
3м
7 ,5
V0
V9
33,25кН .
M 9 0 : 4 F2 w 6 3 6 H 2 12V0 7 ,5V2 6 H 6 q 9 4 ,5 0
7
4м
1
4 F2 18w 6 H 2 7 ,5V2 6 H 6 40,5q 4 3 18 1,5 6 1,2 7 ,5 6 ,8 6 4 ,8 2 40,5
4 ,75кН .
12
12
Выполним проверку. y 0 : V0 V2 V6 9q V9 4 ,75 6 ,8 13,2 9 2 33,25 38 38 0.
4 ,5( V9 V6 ) 2 H 6 10,125q
пр
M 8 0 : 4 ,5( V9 V6 ) 2 H 6 q 4 ,5 2 ,25 4 H 9 0 , H 9
4
4 ,5 ( 33,25 13,2 ) 2 4 ,8 10,125 2
15,09кН .
4
лев
M 8 0 : 7 ,5V0 4 H 0 2 H 2 q 4 ,5 2,25 3V2 w 6 1 0 ,
3V 6 w 10,125q 7 ,5V0 2 H 2 3 6 ,8 6 1,5 10,125 2 7 ,5 4 ,75 2 1,2
H0 2
2 ,91кН .
4
4
Выполним проверку. x 0 : H 2 H 0 H 6 6 w H 9 1,2 2,91 4 ,8 6 1,5 15,09 18 18 0.
V0

6.

w=1.5кН/м
H2=1,2кН
V6=13,2кН
V2=6,8кН
H6=4,8кН
6
2
2м
q=2кН/м
F2=3кН
7
1
4м
8
0
H0
V0
H9
3м
4,5м
4,5м
9
V9
Определим изгибающие моменты:
M 01 0; M 10 3V0 4 H 0 4 w 2
3 4 ,75 4 2,91 4 1,5 2 13,9кНм ;
М 12 1,5V2 2 H 2 2w 1
1,5 6 ,8 2 1,2 2 1,5 15,6 кНм ;
М 18 M 10 M 12 13,9 ( 15,6 ) 29,5кНм ;
M 21 0; M 81 0; M 87 0; M 67 0; М 97 0;
M76 2 H 6 2 4 ,8 9 ,6 кНм ; M79 4 H 9 4 15,09 60,4кНм ; М78 М79 М76 60,4 9 ,6 70кНм .
Построим эпюру М для главной части.
70кНм
15,6кНм
13,9кНм
60,4кНм
9,6кНм
29,5кНм
Эп. М

7.

Построим эпюру М для всей рамы.
9,6кНм
9,6кНм
70кНм
15,6кНм
13,9кНм
60,4кНм
9,6кНм
29,5кНм
Эп. М

8.

5. Определим поперечные силы способом вырезания стержней
M10=13,9кНм
1
4м
w=1.5кН/м
Q10
M 10 8 w 13,9 1,5 8
0 ,375кН .
5
5
M 8 w 13,9 1,5 8
5 ,18кН .
M 1 0 : M 10 5Q01 4 w 2 0; Q01 10
5
5
M 0 0 : M 10 5Q10 4 w 2 0; Q10
0
Q01
M32=9,6кНм
4м
w=1.5кН/м
3
Q32
2
1
M 1 0 : M 12 М 32 5Q32 4 w 2 0; Q32
15,6 9 ,6 1,5 8
2 ,64кН .
5
M М 32 8 w
M 3 0 : M 12 М 32 5Q12 4 w 2 0; Q12 12
5
15,6 9 ,6 1,5 8
7 ,44кН .
5
Q12
M12=15,6кНм
q=2кН/м
Q18
Q78
1
8
7
9м
M18=29,5кНм
M 12 М 32 8 w
5
M78=70кНм
M 1 0 : M 18 М 78 9Q78 9 q 4 ,5 0 ;
M М 78 40 ,5q 29 ,5 70 40 ,5 2
Q78 18
20 ,1кН .
5
5
M 7 0 : M 18 М 78 9Q18 9 q 4 ,5 0 ;
Q18
M 18 М 78 40 ,5q 29 ,5 70 40 ,5 2
2 ,1кН .
5
5

9.

M34=9,6кНм
M54=9,6кНм
3
4
Q34
6м
5
Q54
y 0 : Q34 Q54 0; Q34 Q54
M 34 M 54 9 ,6 9 ,6
3,2кН .
6
6
x 0 : Q56 Q76 0; Q56 Q76
M 56 M 76 9 ,6 9 ,6
4 ,8 кН .
4
4
x 0 : Q79 Q97 0; Q79 Q97
M 79 60,4
15,1кН .
4
4
M56=9,6кНм
4м
5
Q56
6
7
Q76
M76=9,6кНм
M79=60,4кНм
Q79
4м
7
9
Q97

10.

Построим эпюру Q для всей рамы.
2,64кН
3,2кН
4,8кН
7,44кН
0,375кН
2,1кН
15,1кН
20,1кН
5,18кН
Эп.Q

11.

3
4
sin 0 ,6 ; cos 0 ,8.
5
5
y 0 : Q32 sin N 32 cos Q34 F1 0;
6. Определим продольные силы способом вырезания узлов
F1=10кН
F2=3кН
Q32=2,64кН
Q34 Q32 sin F1 3,2 2 ,64 0 ,6 10
6 ,52кН .
cos
0 ,8
x 0 : N 34 F2 Q32 cos N 32 sin 0;
N 32
N34
3
Q34=3,2кН
α
N 34 Q32 cos N 32 sin F2 3,2 0 ,6 6 ,52 0 ,8 3 4 ,8кН .
N32
n
N32
w=1.5кН/м
4м
3
Q32
2
n 0 : N 32 N12 4 w sin 0; N12 N 32 4 w sin
6 ,52 4 1,5 0 ,6 2,92кН .
1
Q12
N12
F1=10кН
N54
Q54=3,2кН
5
x 0 : N 54 Q56 0; N 54 Q56 4 ,8кН .
Q56=4,8кН
y 0 : N 56 Q54 F1 0; N 56 Q54 F1 3,2 10 13,2кН .
N56

12.

Q12=7,44кН
N12=-2,92кН
F2=3кН 1
Q10=0,375кН
α
y 0 : N12 cos Q12 sin N10 cos Q18 Q10 sin 0;
N 12 cos Q12 sin Q18 Q10 sin
cos
2 ,92 0 ,8 7 ,44 0 ,6 2 ,1 0 ,375 0 ,6
5 ,66 кН .
0 ,8
x 0 : N18 F2 Q10 cos N10 sin Q12 cos N12 sin 0;
N 10
N18
Q18=2,1кН
N10
N18 Q10 cos N10 sin Q12 cos N12 sin F2 0 ,375 0 ,6 5,66 0 ,8 7 ,44 0 ,8 2,92 0 ,6 3
10,3кН .
n
N10
Q10
w=1.5кН/м
4м
1
n 0 : N10 N01 4 w sin 0; N01 N10 4 w sin
5,66 4 1,5 0 ,6 2,06 кН .
0
Q01
N01
N78= -10,3кН
Q78=20,1кН
N76= -13,2кН
Q76=4,8кН
x 0 : N78 Q79 Q76 10,3 15,1 4 ,8 0.
7
y 0 : N79 Q78 N76 0; N79 Q78 N76 20,1 13,2 33,3кН .
Q79=15,1кН
N79

13.

Построим эпюру N для всей рамы.
6,52кН
4,8кН
13,2кН
2,92кН
5,65кН
10,3кН
33,3кН
Эп.N
2,06кН

14.

7. Выполним статическую проверку
F1=10кН
3м
3м
F1=10кН
w=1.5кН/м
α
3
4
5
2м
F2=3кН
6
2
2м
q=2кН/м
F2=3кН
Проведем сечение вблизи опор 0 и 9.
Заменим отброшенные части усилиями из эпюр M,
Q и N.
Выделенная часть рамы должна находиться в
равновесии.
7
1
4м
8
0
Q97=15,1кН 9
Q01=5,18кН
3м
4,5м
4,5м
N97=33,3кН
N01=2,06кН
x 0 : 2 F2 8 w N01 sin Q01 cos Q97 2 3 8 1,5 2,06 0 ,6 5,18 0 ,8 15,1 19,2 19,2 0.
y 0 : 2 F1 9q N01 cos Q01 sin N 97 2 10 9 2 2,06 0 ,8 5,18 0 ,6 33,3 38 38 0.
M 0 0 : 12 N 97 9q 7 ,5 8 w 4 F2 ( 4 8 ) F1( 6 12 ) 12 33,3 9 2 7 ,5 8 1,5 4 3 12 10 18
399,6 399 0 ,6 0.
Эпюры M, Q и N построены правильно.