Лекция_11_12_Математический_анализ_Непрерывность_функций

1.

Математический анализ (2)
• Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
• Замечательные пределы
• Непрерывность функции

2.

Ограниченность функции, имеющей
предел.
Определение.
Функция
называется
Пример.
ограниченной на множестве D, если
Функция
Теорема.
1)
2)
3)
4)
5)
На множестве (1.2) – ограниченная;
На множестве (0.1) - ограниченная снизу;
На множестве (-1.1) – неограниченная;
На множестве (1. ) – ограниченная;
На множестве (0, ) ограниченная снизу.
y
3
2
1
0
-1
1
2
3
х

3.

Теорема (о разности между функцией и ее
пределом)
где
при
- бесконечно малая
1. Прямая теорема:
–
(необходимость)
2. Обратная теорема:
(достаточность)
где
при
где
при
- бесконечно малая
- бесконечно малая

4.

Доказательство прямой теоремы.
Доказательство обратной теоремы.
где
при
- бесконечно малая

5.

Бесконечно малые величины.(Повторение)
Переменная
называется бесконечно малой величиной при
, если
То есть
Например,
(Геометрическую интерпретацию бесконечно малой величины см. ранее, при
определении предела).

6.

Основные свойства бесконечно малых
величин.
Пусть
и
- бесконечно малые
при
Тогда при
– 1.
- бесконечно малая
величина.
– 2.
-бесконечно малая
величина.
3.
- бесконечно малая
величина, если
ограниченная
функция.
Доказательство 1 свойства (для суммы).
1.Обозначим
2.Возьмем число
положительное число.
3.Из определения бесконечно малых величин
следует:
Тогда
Д.з. Докажите
свойство 3.
,где
произвольное

7.

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ.
Пусть существуют
• Тогда:
• 1.
Доказательство 1 свойства.
1.
где
2.
и
- бесконечно малые при
• 2.
• 3. Если
число
бесконечно малая
Следовательно
• то
Д.з. Докажите
свойство 2.

8.

Свойства пределов (продолжение)
4. Предел постоянной равен самой постоянной.
5. Постоянной множитель можно выносить за знак
предела.

9.

Бесконечно большие величины.
4. Бесконечно большие величины при
–
–
–
–
y
.
Определение.
Функция
называется
бесконечно большой при
если
M
0
Связь бесконечно больших
и бесконечно малых величин.
Теорема 1.
Если
- бесконечно большая величина при
то
- бесконечно малая величина.
-M
,
х

10.

Пример
2x+5 является бесконечно большой величиной при

11.

Теорема 2.
Если
то
Доказательство.
1. Возьмем произвольное
и обозначим
2. Так как
Следовательно
,то
- бесконечно малая величина при
- бесконечно большая величина.

12.

5. Бесконечно большие при
–
Определение.
–
Геометрическая интерпретация.
.
y
M
-N
0
N
х
х

13.

Типы неопределенностей
• Вычислить предел
• Существуют неопределенности вида

14.

Признаки существования пределов.
Теорема 1.
Пусть
Геометрическая интерпретация.
y
0
х

15.

16.

Первый замечательный предел.
C
B
Доказательство.
1.
2.
3.
0
OBA
OBA
OCA
D
A

17.

4.
5.
6. По первому признаку существования предела:

18.

Пусть
Обозначим

19.

20.

Второй замечательный предел.
–
1.
–
2. Утверждения:
–
3. По теореме о возрастающей и ограниченной функции:

21.

22.

Следствия второго замечательного предела.
1). Если x – действительное число, то

23.

24.

Натуральные логарифмы.
Логарифмы с основанием e называются натуральными логарифмами.

25.

Гиперболические функции
Гиперболический синус
Гиперболический косинус

26.

Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

27.

Из определений следуют формулы:

28.

Сравнение бесконечно малых.
Определения.
Пусть
Тогда:
- бесконечно малые при
–
1. Если
, то говорят,
–
что бесконечно малая
–
высокий порядок малости, чем
–
2. Если
–
что бесконечно малая
–
более высокий порядок малости, чем
–
3. Если
–
, то говорят, что бесконечно малые
–
имеют одинаковый порядок малости.
имеет более
Обозначение:
, то говорят,
имеет
Обозначение:
4. Если
,то
бесконечно малые
называются эквивалентными.
Обозначение:

29.

Сравнение бесконечно малых.
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
– 1.
Доказательство свойства 1:
– 2.
– 3.
Доказательство свойства 4:
– 4.
Необходимость:
1.
2.
Д.з. Доказать достаточность.

30.

Доказательство свойства 3:
предел бесконечно малых не изменится, если их заменить
на эквивалентные
так как
и

31.

Свойство 5
• Если
есть бесконечно малая высшего порядка, чем
, т.е.
,то
Доказательство
то есть

32.

Практический вывод
• При раскрытии неопределенности типа
бесконечно малые
сомножители можно заменять на эквивалентные.
• Бесконечно малые слагаемые можно отбрасывать.
• Пример.

33.

Таблица эквивалентных бесконечно малых
• При
• 1.
• 2.
(следует из 1 замечательного предела)
• 3.
• Сделаем замену
тогда

34.

Продолжение таблицы эквивалентных
бесконечно малых
• 4.
• 5.
• 6.
• так как

35.

Продолжение таблицы эквивалентных
бесконечно малых
Аналогично докажем
7.
Замена
8.
9.
Частный случай
, тогда

36.

Продолжение таблицы эквивалентных
бесконечно малых
• 10.

37.

Пример

38.

Сравнение бесконечно малых.
Примеры.
1.
2.
3.

39.

40.

41.

42.

• Наличие
связано с равенством
левого и правого пределов функции в
точке
, то есть

43.

Из определения следует, что в точке непрерывности
можно менять местами символы функции и предела, т.е.
Действительно,
Пример.

44.

Определение 2

45.

Рисунок ко второму определению непрерывности

46.

47.

Оба определения непрерывности функции
в точке эквивалентны.
Доказательство. Из 1
2
Пусть
, тогда по теореме о разности между
функцией и ее пределом будет:
, где
- бесконечно малая при
Но
малой при
является бесконечно
.

48.

Непрерывность основных элементарных
функций в точках области определения
Основные элементарные функции непрерывны в каждой
точке, в которой они определены.
Доказательство для
Использовано:

49.

Теоремы о непрерывности суммы, разности,
произведения и частного двух непрерывных
функций

50.

Доказательство для произведения.
Пусть

51.

52.

53.

54.

55.

Непрерывная функция

56.

57.

Пример
x = 0 - точка разрыва
• X=0 - точка разрыва I рода (скачок)

58.

59.

Пример
• Рассмотрим функцию
, x=0 -точка разрыва
• Значит x=0 - точка разрыва I рода.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

• Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то
она принимает на нем любое значение, заключенное
между ее наибольшим и наименьшим значениями на
этом интервале.

69.

70.

Если функция ограничена интервале – свойства не выполняются!