О. Интеграл

1.

Математика
Преподаватели:
Кормилицына Елена Анатольевна,
Федотова Екатерина Алексеевна

2.

Тема 12.
Определённый
интеграл

3.

План лекции
1. Задача о нахождении
площади криволинейной
трапеции.
2. Понятие определённого
интеграла.

4.

1. Задача о нахождении
площади криволинейной
трапеции.
Рассмотрим задачу, которая
приводит к понятию
определённого интеграла.
В элементарной геометрии
рассматривались площади
криволинейных фигур,

5.

ограниченных прямолинейными
отрезками, а также площадь
плоской фигуры.
Поставим задачу о
вычислении площади S
криволинейной трапеции,
ограниченной произвольной
замкнутой линией.

6.

Опр. Криволинейной трапецией
расположенной над осью Ox
называется плоская фигура
ограниченная графиком
функции f(x) сверху, осью Ox
снизу, прямой слева x = a и
прямой справа x = b.

7.

8.

Задача: вычислить площадь S
данной криволинейной
трапеции.
Решение: Разобьём отрезок
[a;b], который является
основанием криволинейной
трапеции на n равных частей.
Данное разбиение осуществим с
помощью точек

9.

x1 , x2 , , xk , xk 1 , xn 1
пологая, что
a x0 , b xn .
Проведём через эти точки
прямые параллельные оси Oy.

10.

Тогда данная криволинейная
трапеция разобьётся на n
различных столбиков.
Площадь всей трапеции будет
равна сумме площадей всех
столбиков.

11.

12.

Рассмотрим отдельно один
из столбиков – k−ый
столбик, то есть
криволинейную трапецию с
основанием
[ xk ; xk 1 ]

13.

Заменим его на прямоугольник с
тем же основанием, длина
которого равна
xk 1 xk xk
и высотой
f ( xk )

14.

15.

Sk

16.

17.

18.

19.

Sn f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 f ( xn 1 ) xn 1
S0 S1 Sk Sn 1
где x0 x1 x0
длина отрезка [ x0 ; x1 ]

20.

x1 x2 x1
длина отрезка [ x1 ; x2 ] и т.д.
Выше было обговорено, что
отрезок [a; b] делится на
равные части, а это значит,
что
x0 x1 xn 1

21.

22.

23.

24.

25.

Опр. Приращение
F(b)−F(a)
любой из первообразных F(x)
+ C при изменении аргумента
от x = a до x = b называется
определённым интегралом
от a до b

26.

27.

Числа a и b называются
пределами интегрирования,
a−нижний предел, b−верхний
предел. Отрезок [a; b]
называется отрезком
интегрирования. Таким образом
по определению имеем

28.

b
b
a
a
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
F
(
b
)
F
(
a
)
|
b
| двойная подстановка.
a

29.

30.

Данная формула называется
формулой Ньютона-Лейбница.
Данная формула
выражает связь между
определенными и
неопределенными
интегралами.

31.

32.

33.

34.

Теорема(Свойства
определённого интеграла)
Пусть f(x) и g(x)
интегрируемы на [a,b]. Тогда
справедливы следующие
свойства определённого
интеграла

35.

36.

37.

38.

4. Определённый интеграл
от суммы(разности) равен
сумме(разности)
определённых интегралов

39.

40.

c [ a; b ]

41.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!