Лекция 7(сгм) - 25-26 Дифференцирование и аналитичность

1. Специальные главы математики

Лекция 7

2.

§3. Дифференцирование ФКП
Пусть однозначная ФКП w = f(z) задана в области D,
z0 D, z = z0 + z D при произвольном достаточно
малом по модулю z 0.
Тогда производной ФКП f(z) в точке z0 называется
значение предела
f (z )
lim
z 0
0
z
f ( z )
при произвольном стремлении z 0.
2

3.

Формально определение производной ФКП совпадает
с определением производной ФДП в точке.
Поэтому некоторые понятия и формулы теории
дифференцирования ФДП переносятся на ФКП.
В частности, только для непрерывной в точке ФКП
может существовать производная в точке.
3

4.

Совпадают и основные правила вычисления
производных:
1. С =0.
2. z =1.
3. (f(z)±g(z)) =f (z)±g (z).
4. (f(z)·g(z)) =f (z)·g(z)+f(z)·g (z).
5. (f(z)/g(z)) =[f (z)·g(z)−f(z)·g (z)]/g2(z).
6. Если w=f(t), t=t(z), то w =[f(t(z))] =f (t)·t (z)
(правило дифференцирования сложной функции).
4

5.

Условия дифференцируемости ФКП
С понятием производной ФКП в точке связано
понятие дифференцируемости ФКП в точке
(на множестве).
ФКП f(z), определенная в области D, называется
дифференцируемой в точке z0 D, если
C: f(z0) = C z+o( z), где ФКП o( z) удовлетворяет
условию
5

6.

Из определения следует, что f(z) дифференцируема в
точке z0 тогда и только тогда, когда существует f '(z0).
ФКП f(z), определенная в области D, называется
дифференцируемой на области D, если она
дифференцируема в каждой точке этой области.
Одной из основных теорем теории ФКП является
теорема об условиях дифференцируемости ФКП.
6

7.

Теорема. Пусть функции u(x, y), v(x, y) −
дифференцируемы в точке (x, y).
Функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) дифференцируема в
точке z=x+iy выполняются следующие условия
Коши-Римана:
u x = v y, u y = − v x.
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция f(z) дифференцируема
в точке z, т.е. существует предел
причем этот предел не зависит от способа стремления
х и у к нулю.
7

8.

В частности, при у = 0, х 0 имеем
При х = 0, у 0, имеем:
Сравнивая эти равенства, получим u x = v y, u y = − v x.
8

9.

Достаточность. Пусть выполнены условия КошиРимана и функции u(x, y), v(x, y) − дифференцируемы.
Тогда
Здесь
Поэтому
Во второй скобке воспользуемся условиями КошиРимана:
Тогда
9

10.

Поэтому существует производная
т.е. функция f(z) − дифференцируема, причем
f (z) = u x + i v x.
Теорема доказана.
10

11.

Пример 1. Исследовать, будет ли дифференцируема
функция f (z) = z Imz.
11

12.

Пример 2. Доказать, что ФКП f (z) = z2 всюду
дифференцируема, и найти f (z).
12

13.

Аналитичность ФКП
Из множества дифференцируемых ФКП выделяются
аналитические ФКП.
Однозначная функция f(z) называется аналитической
в точке z некоторой области D (z D), если она
дифференцируема в некоторой окрестности этой
точки.
Однозначная функция f(z) называется аналитической
в области D, если она дифференцируема в каждой
точке этой области.
13

14.

Аналитичность ФКП
Однозначная
функция
f(z)
называется
аналитической в точке = , если функция
f( ) = F(1/z) – аналитическая в точке = 0; при этом
принимается
14

15.

Свойства аналитических функций
1) Функция является аналитической в области тогда
и только тогда, когда в этой области ее действительная
и мнимая части удовлетворяют условиям КошиРимана.
2) Сумма, разность, произведение, суперпозиция
аналитических
функций
являются
функциями
аналитическими. Частное аналитических функций
является аналитической функцией, если знаменатель
не обращается в нуль.
15

16.

3) Пусть функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) является
аналитической в области D. Тогда в этой области
функции u(x, y) и v(x, y) являются гармоническими,
т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа:
u xx+u yy=0, v xx+v yy=0.
Докажем (3) свойство.
Так как функция f(z) является аналитической, то ее
действительная и мнимая части, т.е. функции u(x, y) и
v(x, y), удовлетворяют условиям Коши-Римана:
u x = v y, u y = − v x.
16

17.

u x = v y, u y = − v x.
Продифференцируем первое равенство по x, второе −
по y: u xx = v yx, u yy = −v xy.
Складывая эти равенства, получим: u xx+u yy=0.
Аналогично доказывается, что функция v(x, y) также
является гармонической.
17

18.

Пример. Выяснить, является ли функция f(z) = |z|2
аналитической в каких-либо точках.
18

19.

Восстановление аналитической ФКП по известной
действительной компоненте u(x,y)
По (3) свойству аналитических функций:
если ФКП f(z) = u(x, y) + i v(x, y) аналитическая в
области D, то u(x,y) и v(x,y) являются гармоническими
функциями в области D.
Это означает, что аналитическую ФКП можно
"построить" в виде u(x,y)+iv(x,y) только из
гармонических функций.
19

20.

Но не любая пара гармонических функций образует
аналитическую ФКП.
Например, каждая из функций u(x, y) = х и v(x, y) = 2ху
является гармонической всюду (легко проверить по
определению),
но f(z)=x+i2ху не является аналитической ФКП, так как не
выполнены условия Коши – Римана.
20

21.

Важным свойством аналитической ФКП является
следующее:
Если известна только действительная (мнимая)
часть ФКП f(z), аналитической в области D функции,
то с точностью до произвольной постоянной может
быть найдена и сама ФКП .
21

22.

Доказательство.
Пусть известна Ref(z)=u(x, y) − гармоническая функция
в некоторой области D.
Чтобы "восстановить" f(z), нужно найти Im f(z) = v(x, y).
Полный дифференциал функции v(x, y):
Поскольку ищем аналитическую в области ФКП f(z), то
для нее в этой области должны выполняться условия
Коши – Римана, поэтому дифференциал может быть
представлен в виде:
22

23.

Так как u(x, y) известна, то известно выражение и для
дифференциала.
Таким образом, задача восстановления функции f(z)
свелась к задаче восстановления функции v(x,y) по
известному ее полному дифференциалу.
Аналогично решается задача при известной мнимой
части Im f(z) = v(x, y).
23

24.

Пример. Восстановить f(z) так, чтобы
Im f(z) = х3 − 3ху2 + у, f(0)=0.
24

25.

Пример. Восстановить f(z) так, чтобы
Re f(z) = 3ху2 – x3, f(0)=i.
25