Применение функций комплексного переменного

1. ГИДРОМЕХАНИКА

2.

Лекция 7
Плоское потенциальное
движение

3.

Применение функций комплексного переменного
Как уже отмечали, для для плоских потенциальных течений существуют функции, связанные соотношениями
ux
;
х у
uу
у
х
Эти уравнения дают возможность применить
для описания потенциальных течений несжимаемой жидкости, аппарат теории функции
комплексного переменного

4.

Применение функций комплексного переменного
В теории функций комплексного переменного
доказывается, что если две функции φ(х,у) и
ψ(х,у) связаны приведенными условиями
(условиями Коши-Римана), то они являются
соответственно действительной и мнимой
частью некоторой функции комплексного
переменного
w (z)= φ +iψ,
называемой комплексным потенциалом.
Эта функция обладает определенной конечной производной во всех точках области, где
определены φ и ψ .

5.

Применение функций комплексного переменного
Комплексное число имеет действительную
(Re) и мнимую (Im)
у части
Im z
z = x + iy
y
r
θ
x
а)
Re z
х

6.

Применение функций комплексного переменного
Плоскость течения рассматривается, как плоскость комплексной переменной z = x + iy

7.

Применение функций комплексного переменного
Комплексное число также можно изображать
радиус-вектором. Длина радиус-вектора, изображающего комплексное число , называется
модулем комплексного числа.
Модуль вычисляется по формуле:
r х у
2
2

8.

Применение функций комплексного переменного
О комплексных числах
Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число.
Число z = x - iy называется комплексно-сопряженным числом к числу z = x + iy , т. е.
комплексно сопряженные числа отличаются
лишь знаком мнимой части.
Модули комплексно-сопряженных чисел
равны.

9.

Применение функций комплексного переменного
Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей каждого из чисел.
Аргумент θ комплексного числа связан с его
действительной и мнимой частями соотношениями:
y
arg z tg ;
x

10.

Применение функций комплексного переменного
cos
x
x y
2
2
; sin
y
x y
2
2
Тригонометрической формой комплексного
числа называется выражение
z r (cos isin )
Показательной формой комплексного числа
называется выражение
z rе
i

11.

Применение функций комплексного переменного
Для того, чтобы функция
w (z)= φ +iψ=φ(x,y)+iψ(x,y),
определенная в некоторой области, была
дифференцируемой в точке z этой области,
необходимо и достаточно, чтобы функции
φ(х, у) и ψ(x,y)
были дифференцируемы в той же точке и для
них удовлетворялись уравнения Коши-Римана.
ux
;
х у
uу
у
х

12.

Применение функций комплексного переменного
Такая функция называется аналитической.
Следовательно, любую аналитическую функцию w(z) можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого плоского
течения.
Производная функции комплексного
переменного считается существующей
лишь тогда, когда
W dW
lim
dz
z 0 z
не зависит от способа приближения Δz
к нулю.

13.

Применение функций комплексного переменного
dW
W
W ( z z ) W ( z )
lim
lim
dz z 0 z z 0
z
( x x , y ) i ( x x , y ) ( x , y ) i ( x , y )
lim
z
x 0
d d
i u x iu y
dx dx

14.

Применение функций комплексного переменного
Производная комплексного потенциала по независимой переменной представляет собой
комплексную переменную
и u x iu y
действительная часть которой равна проекции
скорости иx, а мнимая – взятой с обратным
знаком проекции иу

15.

Применение функций комплексного переменного
Производная функции течения в какой либо
точке равна комплексной сопряженной
скорости в этой точке.
Модуль этой пpoизводной дает абсолютную
величину скорости, а аргумент, взятый с
обратным знаком, определяет направление
скорости в рассматриваемой точке.
При сложении течений комплексные потенциалы суммируются:
W(z) = W1(z) + W2(z) + …+Wn (z)

16.

Применение функций комплексного переменного
В плоскости течения могут находиться точки, в
которых производная комплексного потенциала обращается в ноль или в бесконечность.
Это особые точки, в которых функция W(z) не
является аналитической.
В точках, где
dW
,
dz
может пересекаться бесконечно большое
число линий тока. В этих точках распoлагaютcя источники, диполи, вихри.

17.

Применение функций комплексного переменного
В точках, где
dW
0,
dz
(и =0) пересекаются две или несколько (конечное число) линий тока. Эти точки называются
точками разветвления, а пpoходящиe через
них линии тока - разделительными.

18.

Применение функций комплексного переменного
Величину и называют сопряженной скopостью. В комплексной плоскости иx, иу называемой плоскостью годографа скорости, число
является сопряженным с числом
u u x iu y ,
которое называется комплексной скоростью.
Величины и и
форме
и
можно также представить в
u u x iu y u (cos isin ) u e
i
u u x iu y u (cos isin ) u e
i

19.

Применение функций комплексного переменного
Плоские течения с помощью комплексного
потенциала можно изучать различно.
Во-первых, можно, задавшись конфигурацией
линий тока или полем скоростей, отыскивать
вид функций φ и ψ, W и и .
Во-вторых, можно, задавшись аналитической
функцией W, выделить в ней действительную
и мнимую части (т. е. φ и ψ).
А также найти
dW
dz
u
чем определится поле скоростей.

20.

Рассмотрим, как выразится комплексный
потенциал для элементарных потоков.

21.

Параллельно-струйное движение
Рассмотрим функцию W= az; где а- постоянное
комплексное число.
dW
Так как
a,
у
О
dz
a u,
х
то
которая в этом случае
постоянна во всей
плоскости течения u 0.
i
W u0 e z
dW
i
u0 e
dz

22.

Параллельно-струйное движение
W i
u0 x x u0 y y u0 ( xcos ysin )
u0 x y u0 y x u0 (- xsin ycos )
Вдоль линий тока ψ= const и, следовательно,
их уравнение запишется, в виде
u0 x y u0 y x const
Это уравнение семейства параллельных
прямых, наклоненных к оси х, под углом α
tg
u0 y
u0 x

23.

Параллельно-струйное движение
Эквипотенциали представляют собой дpyгoе
семейство параллельных прямых, ортогональное к первому.
В частном случае, когда и0у = 0 (α0 = 0),
будет
W = u0xz; и= и0х; φ = и0хх; ψ= и0ху
и получается прямолинейный поток вдоль
оси х.
Если же α = π/2, то этот поток направлен
вдоль оси у:
W = -iu0yz; и = iи0y; φ = и0yy; ψ= - и0yx

24.

Течение от источника (стока) в начале координат
φ=const
ψ=const
dsθ
dr
dW
Q
dz
2 z
Q
W ln z
2
Представим z в показательной форме
i
z rе
тогда
Q
W (ln z i ) i
2
Q
Q
2
2
ln r ln x y
2
2
Q
Q
y
arctg
2
2
x

25.

Течение от источника (стока) в начале координат
Линии тока (ψ= cоnst или у/х =const) представляют собой прямые, проходящие через начало
координат,
а
эквипотенциали
(φ=
const
или
х2+y2= const) -окружности с общим центром в
начале координат.
Проекции скорости в полярных координатах:
Q
1
ur
; u
0
r
2 r
s r
В поле источника (стока) скорость убывает обратно пропорционально расстоянию от центра.
Скорость, направленная от центра к
периферии (источник), положительна, в этом
случае Q >0. Стоку соответствует Q <0.

26.

Течение от источника в точке z0=x0+iy0
y
φ=const
ψ=const
dr
y0
x0
Q
W ln( z z0 )
2
dW
Q
dz
2 ( z z0 )
x
Q
Q
2
2
ln r ln ( x x0 ) ( y y0 )
2
2
y y0
Q
Q
arctg
2
2
x x0

27.

Течение от вихря в точке z0=x0+iy0
y
iГ
W ln( z z0 )
2
dW
iГ
dz
2 ( z z0 )
φ=const
ψ=const
y0
x0
x
y y0 Г
Г
arctg
2
x x0 2
Г
Г
2
2
ln ( x x0 ) ( y y0 ) ln r
2
2

28.

Течение от диполя в точке z0=x0+iy0
y
Комплексный потенциал
М
1
W
2 ( z z 0 )
y0
dW
М
1
dz
2 ( z z 0 ) 2
x
x0
x x0
М
М cos
2 ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2 r
y y0
М
М sin
2
2
2 ( x x0 ) ( y y 0 )
2 r