Лекция Производная функции1(КАТ)

1. Производная функции

Составитель: Самойлова О.А.

2.

Пусть функция y f ( x) определена на промежутке X.
При каждом значении аргумента x из этого промежутка функция
имеет определенное значение y f ( x)
Y
Пусть аргумент x получил
некоторое приращение x.
Тогда функция y получит
некоторое приращение y.
y f x
y y
y
Таким образом, при значении
y
аргумента x: y f ( x),
x
x x : y y f ( x x).
0
Тогда приращение функции
y f ( x x) y
или
x
x x
X
y f ( x x) f x .
Составитель: Самойлова О.А.

3.

Составим отношение
y f ( x x) f x
.
x
x
Рассмотрим предел этого отношения при x 0.
Определение: Производной функции y f x называется
предел отношения приращения функции к приращению
независимой переменной при стремлении последнего к нулю
(если этот предел существует):
f ( x x) f x
y
y lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
Составитель: Самойлова О.А.

4.

Производная функции имеет несколько обозначений:
dy df x
,
.
dx
dx
Иногда в обозначении производной используется индекс,
указывающий, по какой переменной взята производная,
например, y x , f x .
y , f x ,
Нахождение производной функции называется
дифференцированием этой функции.
Если функция в точке x имеет конечную производную, то
функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X,
называется дифференцируемой на этом промежутке.
Составитель: Самойлова О.А.

5.

Основные правила дифференцирования
Если с - постоянная, u u x , v v x – дифференцируемые
функции, то справедливы следующие правила
дифференцирования:
1) u v u v
2) cu cu , c const
3) uv u v uv
u
4) u v uv , v x 0
2
v
v
Составитель: Самойлова О.А.

6. Таблица производных основных элементарных функций

1) с 0
2) x 1
3)
n 1
x
nx
4)
ex
e
5)
a
n
x
x
1
log a x
x ln a
1
8)
x
2 x
7)
9)
sin x cos x
1
ctgx 2
sin x
1
13) arcsin x
1 x2
12)
14)
arccos
x
1
1 x2
1
a ln a 10) cos x sin x 15) arctgx 1 x 2
x
6) ln x 1
x
1
11) tgx
cos 2 x
1
16) arcctgx
1 x2
Составитель: Самойлова О.А.